Question

11．如圖所示，AB段是光滑斜面，水平段BC使用長度可調(diào)的水平傳送帶，BC長計(jì)為L，傳送帶順時針轉(zhuǎn)動的速率v₀=2m/s，設(shè)質(zhì)量為m=0.1kg的小物塊由靜止開始從距水平傳送帶高為h處下滑，經(jīng)過B點(diǎn)的拐角處無機(jī)械能損失，物塊與傳送帶間的滑動摩擦因數(shù)μ=0.4．小物塊隨傳送帶運(yùn)動到C點(diǎn)后水平拋出，恰好無碰撞的沿著圓弧切線從D點(diǎn)進(jìn)入豎直面內(nèi)的光滑圓弧軌道DMN，并沿軌道恰好通過最高點(diǎn)N，O為圓弧的圓心，MN為其豎直直徑，OD與豎直方向的夾角為60°，圓弧半徑R=0.9m．試求：
（1）小物塊經(jīng)過M點(diǎn)時對圓弧軌道的壓力的大�。�
（2）小物塊離開C點(diǎn)時的速度大��；
（3）高度h與BC長度L滿足的關(guān)系；
（4）若h=1.25m，則運(yùn)動過程中產(chǎn)生的熱量Q為多少？

Answer 1

分析 （1）小物塊沿軌道恰好通過最高點(diǎn)N，可得在N點(diǎn)時的速度大小，應(yīng)用動能定理可得在M點(diǎn)時的速度大小，由牛頓第二定律求得經(jīng)過M點(diǎn)時圓弧軌道的支持力的大小，從而由牛頓第三定律得到對圓弧軌道的壓力的大小．
（2）從D到M點(diǎn)應(yīng)用動能定理可得在D點(diǎn)時的速度大小，由于恰好無碰撞的沿著圓弧切線從D點(diǎn)進(jìn)入豎直面內(nèi)的光滑圓弧軌道DMN，對D點(diǎn)的速度進(jìn)行分解，有幾何關(guān)系可得水平方向的分速度，就是從C點(diǎn)拋出時的速度．
（3）結(jié)合（2）的結(jié)果，對于物塊從A到C得運(yùn)動應(yīng)用動能定理或牛頓運(yùn)動定律求解即可．
（4）若h=1.25m，結(jié)合（2）的結(jié)果可得則運(yùn)動過程中摩擦力的負(fù)功，該負(fù)功將產(chǎn)生產(chǎn)生的熱量Q．

解答 解：（1）小物塊沿軌道恰好通過最高點(diǎn)N，可得在N點(diǎn)時的速度大小v₁滿足：mg=$\frac{{mv}_{1}^{2}}{R}$         ①
物體從M到N應(yīng)用動能定理可得，-mg•2R=$\frac{1}{2}$${mv}_{1}^{2}-\frac{1}{2}$${mv}_{M}^{2}$          ②
在M點(diǎn)，軌道的支持力為F_N，由牛頓第二定律可得：${F}_{N}-mg=\frac{{mv}_{M}^{2}}{R}$          ③
由牛頓第三定律可得，小物塊經(jīng)過M點(diǎn)時對圓弧軌道的壓力F=F_N ④
解①②③④得，F(xiàn)=6mg=6×0.1×10N=6N
（2）從N到D應(yīng)用動能定理可得，mgR（1+cos60°）=$\frac{1}{2}$${mv}_{D}^{2}-\frac{1}{2}$${mv}_{N}^{2}$           ⑤
由于恰好無碰撞的沿著圓弧切線從D點(diǎn)進(jìn)入豎直面內(nèi)的光滑圓弧軌道DMN，故有水平方向的分速度為v_x=v_Dcos60°   ⑥
而v_C=v_x ⑦
由①⑤⑥⑦得，v_C=$\frac{\sqrt{2gR}}{2}$=2.12m/s
（3）由于v_C＞v₀，物塊在傳送帶上始終做勻減速運(yùn)動，對于物塊從下滑開始到拋出的過程有動能定理可得：
mgh-$μmgL=\frac{1}{2}$${mv}_{C}^{2}$       ⑧
帶入數(shù)據(jù)得高度h與BC長度L滿足的關(guān)系：5h-2L=2.2      ⑨
（4）若h=1.25m，則運(yùn)動過程中產(chǎn)生的熱量Q=μmgL（10）
聯(lián)立⑨（10）并代入數(shù)據(jù)得，Q≈0.8J
答：（1）小物塊經(jīng)過M點(diǎn)時對圓弧軌道的壓力為6N；
（2）小物塊離開C點(diǎn)時的速度大小為2.12m/s；
（3）高度h與BC長度L滿足的關(guān)系為5h-2L=2.2；
（4）若h=1.25m，則運(yùn)動過程中產(chǎn)生的熱量Q為0.8J．

點(diǎn)評 此題是一道非常好的題，考察到了多個知識點(diǎn)．
首先是考察到了機(jī)械能守恒定律，我們要了解機(jī)械能守恒定律的條件和表達(dá)式，在機(jī)械能的表達(dá)式上要注意靈活，可從守恒的角度寫成E₁=E₂或△E=0，可從能量轉(zhuǎn)化的角度寫成△E_k增=△E_p減，從兩物體間能的轉(zhuǎn)移角度寫成△E_A增=△E_B減．
第二是考察到了相對速度不為零的兩物體間的運(yùn)動，此方面的題關(guān)鍵是要判斷能否具有共同速度或在什么時間、位置上兩物體具有共同速度．
對于圓周運(yùn)動的問題，首先要經(jīng)過受力分析表示出向心力，再結(jié)合各物理量表示的向心力的式子進(jìn)行求解．