Question

14．如圖所示，在xOy平面的x＜0區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)電場(chǎng)，方向沿y軸正方向，而在0≤x≤L，-1.5L≤y≤1.5L的區(qū)域I內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B₁=$\frac{m{v}_{0}}{qL}$、方向垂直紙面向外，區(qū)域Ⅱ處于L≤x≤2L、-1.5L≤y≤1.5L，現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電粒子從坐標(biāo)為（-2L，-$\sqrt{2}$L）的A點(diǎn)以速度v₀沿+x方向射入xOy平面，恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)為[0，-（$\sqrt{2}$-1）L]的C點(diǎn)，粒子重力忽略不計(jì)，求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小E；
（2）粒子離開(kāi)區(qū)域Ⅰ時(shí)的位置坐標(biāo)；
（3）要使粒子從區(qū)域Ⅱ上邊界離開(kāi)磁場(chǎng)，可在區(qū)域Ⅱ內(nèi)加垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₂，試確定磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂的大小范圍，并說(shuō)明粒子離開(kāi)區(qū)域Ⅱ時(shí)的速度方向與y軸正方向夾角θ的范圍．

Answer 1

分析 （1）粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，將運(yùn)動(dòng)沿xy軸分解，根據(jù)動(dòng)為學(xué)規(guī)律即可求解；
（2）由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出粒子在C點(diǎn)豎直分速度，結(jié)合初速度可算出C點(diǎn)的速度大小與方向．當(dāng)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律可確定運(yùn)動(dòng)的半徑．最后由幾何關(guān)系可得出離開(kāi)區(qū)域Ⅰ時(shí)的位置坐標(biāo)；
（3）根據(jù)幾何關(guān)系確定離開(kāi)磁場(chǎng)的半徑范圍，再由半徑公式可確定磁感應(yīng)強(qiáng)度的范圍及粒子離開(kāi)區(qū)域Ⅱ時(shí)的速度方向．

解答 解：（1）帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)：2L=v₀t
L=$\frac{1}{2}$•$\frac{qE}{m}$t²

聯(lián)立解得：E=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2qL}$
（2）設(shè)帶電粒子經(jīng)C點(diǎn)時(shí)的豎直分速度為v_y、速度為v
v_y=$\frac{qE}{m}$t 得：v_y=v₀
v=$\sqrt{2}$v₀，方向與x軸正向成45°斜向上
粒子進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅰ做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，B₁qv=m$\frac{v2}{R}$，
R=$\frac{\sqrt{2}mv0}{qB1}$
解得：R=$\sqrt{2}$L
由幾何關(guān)系知，離開(kāi)區(qū)域Ⅰ時(shí)的位置坐標(biāo)：x=L　y=0，即（L，0）
（3）根據(jù)幾何關(guān)系知，帶電粒子從區(qū)域Ⅱ上邊界離開(kāi)磁場(chǎng)的半徑]滿足：$\frac{3}{4}$L≤r≤L
B₂qv=m$\frac{v2}{r}$
解得：$\frac{\sqrt{2}mv0}{qL}$≤B₂≤$\frac{4\sqrt{2}mv0}{3qL}$
根據(jù)幾何關(guān)系知，帶電粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)速度方向與y軸正方向夾角30°≤θ≤90°
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小是$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2qL}$；
（2）粒子離開(kāi)區(qū)域Ⅰ時(shí)的位置坐標(biāo)是（L，0）；
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂的大小范圍是$\frac{\sqrt{2}mv0}{qL}$≤B₂≤$\frac{4\sqrt{2}mv0}{3qL}$，粒子離開(kāi)區(qū)域Ⅱ時(shí)的速度方向與y軸正方向夾角θ的范圍是30°≤θ≤90°．

點(diǎn)評(píng) 本題涉及了類平拋運(yùn)動(dòng)、勻速圓周運(yùn)動(dòng)，學(xué)會(huì)處理這兩運(yùn)動(dòng)的規(guī)律：類平拋運(yùn)動(dòng)強(qiáng)調(diào)運(yùn)動(dòng)的分解，勻速圓周運(yùn)動(dòng)強(qiáng)調(diào)幾何關(guān)系確定半徑與已知長(zhǎng)度的關(guān)系．