Question

15．“北斗”系統(tǒng)中兩顆工作衛(wèi)星1和2在同一軌道上繞地心O沿順時針方向做勻速圓周運動，軌道半徑為r，某時刻它們分別位于軌道上的A、B兩位置，如圖所示．已知地球表面處的重力加速度為g，地球半徑為R，不計衛(wèi)星間的相互作用力．以下判斷中正確的是（　　）

• A． 這兩顆衛(wèi)星的向心加速度大小為a=$\frac{{R}^{2}}{{r}^{2}}$g
• B． 這兩顆衛(wèi)星的角速度大小為ω=R$\sqrt{\frac{g}{r}}$
• C． 衛(wèi)星1由位置A運動至位置B所需的時間為t=$\frac{πr}{3R}$$\sqrt{\frac{r}{g}}$
• D． 如果使衛(wèi)星1加速，它就一定能追上衛(wèi)星2

Answer 1

分析 萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，可得出r相同則速度v大小相等，v變大則r變大（做離心運動），再結(jié)合$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$即$GM=g{R}_{\;}^{2}$（黃金代換），即可求解．

解答 解：A、衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，萬有引力充當(dāng)向心力，即：G$\frac{Mm}{r2}$=ma，由萬有引力與重力關(guān)系，G$\frac{Mm}{R2}$=mg，解兩式得：a=$\frac{R2}{r2}$g，A項正確；

B、由a=ω²r，將上式代入得：ω=$\sqrt{g\frac{{R}^{2}}{{r}^{3}}}$，B項錯誤；
C、衛(wèi)星1由位置A運動到位置B所需時間為衛(wèi)星周期的$\frac{1}{6}$，由T=$\frac{2π}{ω}$，t=$\frac{πr}{3R}$$\sqrt{\frac{r}{g}}$，C項正確；
D、衛(wèi)星1加速后做離心運動，進入高軌道運動，不能追上衛(wèi)星2，D項錯誤．
故選：AC

點評 關(guān)于做圓周運動的衛(wèi)星類問題，要靈活運用兩個公式$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}=m{ω}_{\;}^{2}r=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$注意衛(wèi)星若加速則做離心運動，減速則做向心運動．