Question

（2011?紹興二模）一端彎曲的光滑絕緣桿ABD固定在豎直平面上，如圖所示，AB段水平，BD段是半徑為R的半圓弧，有電荷量為Q（Q＞0）的點(diǎn)電荷固定在圓心O點(diǎn)．一質(zhì)量為m、電荷量為q（q＞0）的帶電小環(huán)套在光滑絕緣桿上，在水平外力作用下從C點(diǎn)由靜此開始運(yùn)動(dòng)，到B點(diǎn)時(shí)撤去外力，小環(huán)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，發(fā)現(xiàn)剛好能到絕緣桿的最高點(diǎn)D．已知CB間距為4R/3．（提示：根據(jù)電磁學(xué)有關(guān)知識(shí)，在某一空間放一電荷量為Q的點(diǎn)電荷，則距離點(diǎn)電荷為r的某點(diǎn)的電勢為?=k

Q

r

，其中k為靜電力常量，設(shè)無窮遠(yuǎn)處電勢為零．）
（1）求小環(huán)從C運(yùn)動(dòng)到B過程中，水平外力做的功；
（2）若水平外力為恒力，要使小環(huán)能運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，求水平外力的最小值F₀；
（3）若水平外力為恒力，大小為F（F大于（2）問中的F₀），求小環(huán)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，絕緣桿對環(huán)的彈力大小和方向．

Answer 1

分析：（1）小環(huán)從C運(yùn)動(dòng)到B過程中，有電場力和外力做功，根據(jù)動(dòng)能定理可以求得水平外力做的功；
（2）要是小環(huán)能夠到達(dá)D點(diǎn)，則到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的速度必須大于或等于零，在此過程中外力和電場力做功，根據(jù)動(dòng)能定理可以求得最小的外力；
（3）到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，做的是圓周運(yùn)動(dòng)，彈力、重力、電場力的合力做為圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，由此可以求得絕緣桿對環(huán)的彈力大小和方向．

解答：解：（1）小球從C運(yùn)動(dòng)到B，帶電小環(huán)要克服電場力做功，克服電場做的功W_電等于電勢能的增加，
則 W_電=

KQ

R

q-

KQ

5 3 R

，
所以W_電=

2KQq

5R

，
小球從C運(yùn)動(dòng)到B，設(shè)到B得速度為V_B，水平外力做的功為W，
則 W-W_電=

1

2

m

V

2 B

小球從B到D過程中，帶電小環(huán)在等勢面上運(yùn)動(dòng)電場力不做功，設(shè)到D點(diǎn)的速度為V_D
則-2mgR=

1

2

m

V

2 D

-

1

2

m

V

2 B

又剛好到D點(diǎn)，則D點(diǎn)速度為V_D=0，
所以W=2mgR+

2KQq

5R

，
（2）小球要能運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，則V_D≥0
由C運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，F(xiàn)′?

4

3

R-W_電-2mgR=

1

2

m

V

2 D

由此可以解得F′≥

3

2

mg+

3KQq

10R2

所以水平外力的最小值為F₀=

3

2

mg+

3KQq

10R2

．
（3）由C運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，設(shè)D點(diǎn)速度為V_D，
F?

4

3

R-2mgR-

2KQq

5R

=

1

2

m

V

2 D

小環(huán)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，設(shè)絕緣桿對小環(huán)的彈力大小為F_N，方向指向圓心，

mV 2 D

R

=F_N+mg-

KQq

R2

由此可得F_N=

8

3

F+

KQq

5R2

-5mg
討論：
（a）若

8

3

F+

KQq

5R2

＞5mg，則彈力大小為

8

3

F+

KQq

5R2

-5mg，方向指向圓心．
（b）若

8

3

F+

KQq

5R2

=5mg，則彈力為零．
（c）若

8

3

F+

KQq

5R2

＜5mg，則彈力大小為5mg-（

8

3

F+

KQq

5R2

），方向背向圓心．

點(diǎn)評：對小環(huán)的運(yùn)動(dòng)的過程進(jìn)行分析，根據(jù)動(dòng)能定理求解小環(huán)的速度的大小，在應(yīng)用動(dòng)能定理的時(shí)候一定要分析清楚，運(yùn)動(dòng)過程中力的做功的情況，在求解絕緣桿對環(huán)的彈力的時(shí)候要注意分析對環(huán)的作用力的方向是向上的還是向下的．