Question

20．甲乙兩名運動員在同一圓軌道上從同一地點同時沿同一繞行方向進行跑步比賽，可認為甲乙都做勻速圓周運動，若甲的周期為T₁，乙的周期為T₂，且T₁＞T₂
（1）至少經(jīng)過多長時間甲、乙兩運動員相距最近；
（2）至少經(jīng)過多長時間兩運動員相距最遠．

Answer 1

分析 當兩名運動員相遇時，相距最近，結(jié)合運動學公式求出相距最近的時間．當兩運動員之間的距離為直徑時，相距最遠．

解答 解：（1）設(shè)經(jīng)過t時間相距最近，
有：$\frac{2π}{{T}_{1}}t+2nπ=\frac{2π}{{T}_{2}}t$，n=1，2，3…
解得t=$\frac{n{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{1}-{T}_{2}}$．（n=1，2，3，…）
當n=1時，t=$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{1}-{T}_{2}}$．
（2）設(shè)經(jīng)過t′時間相距最遠，
有：$\frac{2π}{{T}_{1}}t′+（2n-1）π=\frac{2π}{{T}_{2}}t′$，
解得$t′=\frac{（2n-1）{T}_{1}{T}_{2}}{2（{T}_{1}-{T}_{2}）}$，（n=1，2，3…）
當n=1時，$t′=\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{2（{T}_{1}-{T}_{2}）}$．
答：（1）至少經(jīng)過時間為$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{1}-{T}_{2}}$甲、乙兩運動員相距最近．
（2）至少經(jīng)過$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{2（{T}_{1}-{T}_{2}）}$，甲乙相距最遠．

點評 本題考查了圓周運動的基本運用，知道當兩者的路程相差為周長的整數(shù)倍時，相距最近，當兩者的路程是半個周長的奇數(shù)倍時相距最遠．