Question

16．如圖所示，一塊質(zhì)量為M、長(zhǎng)為L(zhǎng)的勻質(zhì)板放在很長(zhǎng)的光滑水平桌面上，板的左端有一質(zhì)量為m的小物塊，物塊上連接一根很長(zhǎng)的細(xì)繩，細(xì)繩跨過(guò)位于桌面邊緣的定滑輪．現(xiàn)某人以恒定的速度v向下拉繩，物塊隨細(xì)繩運(yùn)動(dòng)，恰到達(dá)板的中點(diǎn)后相對(duì)板靜止；取g=10m/s²，且所有過(guò)程板的右端均未撞上桌邊定滑輪，求：

（1）從開(kāi)始拉繩起計(jì)時(shí)，物塊到達(dá)板的中點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間t₀；
（2）物塊與板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₀；
（3）若板與桌面間有摩擦，為使物塊能到達(dá)板的右端，板與桌面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ的范圍．

Answer 1

分析 （1）板與物塊都向右做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩者速度相等時(shí)，木塊與板相對(duì)靜止，由平均速度公式求出板的平均速度；由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出時(shí)間；
（2）由牛頓第二定律求出物體與板間的動(dòng)摩擦因數(shù)；
（3）對(duì)板與物塊進(jìn)行受力分析，由牛頓第二定律求出 加速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出位移，然后根據(jù)兩者間位移的幾何關(guān)系分析答題．

解答 解：（1）設(shè)在此過(guò)程中物塊前進(jìn)位移為S₁，板前進(jìn)位移為S₂，則S₁=vt₀…①
${S_2}=\frac{v}{2}{t_0}$…②
${S_1}-{S_2}=\frac{L}{2}$…③
由①②③得：${t_0}=\frac{L}{v}$
（2）根據(jù)牛頓第二定律，對(duì)板有：μ₀mg=Ma…④
而$a=\frac{△v}{△t}$…⑤
由⑤得$a=\frac{v^2}{L}$…⑥
解得：${μ_0}=\frac{Ma}{mg}=\frac{{M{v^2}}}{mgL}$
（3）①設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t，物塊恰到達(dá)板的右端并與之共速，此時(shí)物塊勻速前進(jìn)位移為X₁，板勻加速前進(jìn)位移為X₂，則X₁=vt，${X_2}=\frac{v}{2}t$，
且據(jù)位移關(guān)系有：$vt-\frac{v}{2}t=L$…⑨
設(shè)此過(guò)程板與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₁，對(duì)板有μ₀mg-μ₁（M+m）g=Ma'…⑩
又由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律v=a't
聯(lián)立⑨⑩解得${μ_1}=\frac{{M{v^2}}}{2（m+M）gL}$
②當(dāng)?shù)孛孀畲箪o摩擦力大于物塊對(duì)板的摩擦力，板不動(dòng)，物塊也可到達(dá)板的右端，即有μ₀mg＜μ₂（M+m）g
可得${μ_2}＞\frac{{M{v^2}}}{（m+M）gL}$而$\frac{{M{v^2}}}{（m+M）gL}＞\frac{{M{v^2}}}{2（m+M）gL}$
故綜上可得，為使物塊能到達(dá)板的右端，板與桌面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ的范圍應(yīng)為$μ≥\frac{{M{v^2}}}{2（m+M）gL}$
答：（1）從開(kāi)始拉繩起計(jì)時(shí)，物塊到達(dá)板的中點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間是$\frac{L}{v}$；
（2）物塊與板間的動(dòng)摩擦因數(shù)是$\frac{M{v}^{2}}{mgL}$；
（3）若板與桌面間有摩擦，為使物塊能到達(dá)板的右端，板與桌面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ的范圍$μ≥\frac{{M{v^2}}}{2（m+M）gL}$．

點(diǎn)評(píng) 該題為多物體多過(guò)程的題目，對(duì)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程運(yùn)動(dòng)要分析透徹．分析求出物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程，應(yīng)用牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、即可正確解題．