17.如圖所示,傾斜軌道AB的傾角為37°,CD、EF軌道水平,AB與CD通過光滑圓弧管道BC連接,CD右端與豎直光滑圓周軌道相連.小球可以從D進(jìn)入該軌道,沿軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng),從E滑出該軌道進(jìn)入EF水平軌道.a(chǎn)、b為兩完全相同的小球,a球由靜止從A點(diǎn)釋放,在C處與b球發(fā)生彈性碰撞.已知AB長(zhǎng)為5R,CD長(zhǎng)為R,重力加速度為g,小球與斜軌AB及水平軌道CD、EF的動(dòng)摩擦因數(shù)均為0.5,sin37°=0.6,cos37°=0.8,圓弧管道BC入口B與出口C的高度差為1.8R.求:
(1)a球滑到斜面底端C時(shí)速度為多大?a、b球在C處碰后速度各為多少?
(2)要使小球在運(yùn)動(dòng)過程中不脫離軌道,豎直圓周軌道的半徑R′應(yīng)該滿足什么條件?若R′=2.5R,兩球最后所停位置距D(或E)多遠(yuǎn)?注:在運(yùn)算中,根號(hào)中的數(shù)值無需算出.

分析 (1)a球從A運(yùn)動(dòng)至C過程,由動(dòng)能定理列出等式,a、b球在C發(fā)生彈性碰撞,系統(tǒng)動(dòng)量守恒,機(jī)械能守恒列出等式聯(lián)立求解
(2)要使小球b脫離軌道,有兩種情況:情況一:小球b能滑過圓周軌道最高點(diǎn),進(jìn)入EF軌道.情況二:小球b上滑至四分之一圓軌道的Q點(diǎn)時(shí),速度減為零,然后滑回D.由動(dòng)能定理列出等式求解.由于a、b碰撞無能量損失,則由能量守恒定律求解.

解答 解:(1)設(shè)a球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度為v,a球從A運(yùn)動(dòng)至C過程,由動(dòng)能定理有:
mg(5Rsin37°+1.8R)-μmgcos37°•5R=$\frac{1}{2}$mv2-0…①,
代入數(shù)據(jù)解得:v=$\sqrt{5.6gR}$…②
a、b球在C發(fā)生彈性碰撞,系統(tǒng)動(dòng)量守恒,機(jī)械能守恒,設(shè)a、b碰后瞬間速度分別為va、vb,以向右為正方向,由動(dòng)量守恒定律得:
mv=mva+mvb…③
由機(jī)械能守恒定律得:$\frac{1}{2}$mv2=$\frac{1}{2}$mva2+$\frac{1}{2}$mvb2…④
由②③④可得:va=0,vb=$\sqrt{5.6gR}$…⑤
可知,a、b碰后交換速度,a靜止,b向右運(yùn)動(dòng).
(2)要使小球b脫離軌道,有兩種情況:
情況一:小球b能滑過圓周軌道最高點(diǎn),進(jìn)入EF軌道.
則小球b在最高點(diǎn)P應(yīng)滿足:m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R′}$≥mg…⑥
小球b碰后直到P點(diǎn)過程,由動(dòng)能定理,有
-μmgR-mg•2R′=$\frac{1}{2}$mvP2-$\frac{1}{2}$mvb2…⑦
由⑤⑥⑦式,可得:R′≤$\frac{23}{25}$R=0.92R,
情況二:小球b上滑至四分之一圓軌道的Q點(diǎn)時(shí),速度減為零,然后滑回D.
則由動(dòng)能定理有:-μmgR-mgR′=0-$\frac{1}{2}$mvb2…⑧
由⑤⑧式,可得:R′≥2.3R;
(3)若R′=2.5R,由上面分析可知,b球必定滑回D,設(shè)其能向左滑過DC軌道與a球碰撞,且a球到達(dá)B點(diǎn),在B點(diǎn)的速度為vB,由于a、b碰撞無能量損失,則由能量守恒定律有:
$\frac{1}{2}$mv2=$\frac{1}{2}$mvB2+mg•1.8R+2μmgR…⑨
由⑤⑨式,可得:vB=0,
故知,a球不能滑回傾斜軌道AB,a、b兩球?qū)⒃贏、Q之間做往返運(yùn)動(dòng),最終a球?qū)⑼T贑處,b球?qū)⑼T贑D軌道上的某處.設(shè)b球在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的總路程為S,由于a、b碰撞無能量損失,則由能量守恒定律,有:$\frac{1}{2}$mv2=μmgs…⑩
由⑤⑩兩式,可得:S=5.6R,
所以知,b球?qū)⑼T贒點(diǎn)左側(cè),距D點(diǎn)0.6R處,a球停在D點(diǎn)左側(cè),距D點(diǎn)R處.
答:(1)a球滑到斜面底端C時(shí)速度為$\sqrt{5.6gR}$,a、b球在C處碰后速度各為0和$\sqrt{5.6gR}$.
(2)要使小球在運(yùn)動(dòng)過程中不脫離軌道,情況一:小球b能滑過圓周軌道最高點(diǎn),進(jìn)入EF軌道.R′≤0.92R;
小球b上滑至四分之一圓軌道的Q點(diǎn)時(shí),速度減為零,然后滑回D,R′≥2.3R,b球?qū)⑼T贒點(diǎn)左側(cè),距D點(diǎn)0.6R處,a球停在D點(diǎn)左側(cè),距D點(diǎn)R處.

點(diǎn)評(píng) 此題要求熟練掌握動(dòng)能定理、系統(tǒng)動(dòng)量守恒、能量守恒定律、圓周運(yùn)動(dòng)等規(guī)律,包含知識(shí)點(diǎn)多,難度較大,屬于難題.

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A.秒表的重力B.秒表和測(cè)力計(jì)的總重力
C.秒表對(duì)彈簧的拉力D.彈簧對(duì)秒表的拉力

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1.如圖所示的v-t圖象中.
(1)開始計(jì)時(shí)的速度為1m/s,1s末的速度為4m/s,3s末的速度為4m/s,4.5s末的速度為-2m/s;初速度小于(填“大于”或“小于”)4.5s末的速度;
(2)最初1s內(nèi)的加速度為3m/s2,1-3s內(nèi)的加速度為0m/s2,3-4s內(nèi)的加速度為-4m/s2,4-4.5s內(nèi)的加速度為-4m/s2.第1s內(nèi)的加速度和第5s內(nèi)的加速度方向相反(填“相同”或“相反”)

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(2)汽車在水平路面做勻加速運(yùn)動(dòng)能維持多長(zhǎng)時(shí)間?
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