Question

8．如圖所示，一棱鏡的截面為直角三角形ABN，∠A=30°，斜面AB=a，在此截面所在的平面內(nèi)，一條光線以45°的入射角從AN邊的中點(diǎn)M左側(cè)射入棱鏡，已知棱鏡材料的折射率為n=$\sqrt{2}$．
（1）畫(huà)出光路圖，并求光線從棱鏡射出的點(diǎn)的位置（不考慮光線沿原路返回的情況）．
（2）要讓光線能從AB邊射出，可在AB下方鋪設(shè)折射率為n₁的介質(zhì)，求n₁的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）光線以45°的入射角時(shí)，要分入射光線在法線的右側(cè)和左側(cè)兩種情況進(jìn)行討論研究．根據(jù)折射定律求出光線在AC面的折射角．根據(jù)幾何知識(shí)確定光線在AB或BC面上入射角．求出臨界角，判斷在這兩個(gè)面上能否發(fā)生全反射，畫(huà)出光路圖，求出光線從棱鏡射出的點(diǎn)的位置離A或B點(diǎn)的距離．
（2）在AB下方鋪設(shè)折射率為n₁的介質(zhì)，要讓光線能從AB邊射出，光線在AB邊不能發(fā)生全反射，根據(jù)全反射條件和臨界角公式求解．

解答 解：（1）設(shè)入射角為i，折射角為r，由折射定律得：$\frac{sini}{sinr}$=n ①
由已知條件i=45°，n=$\sqrt{2}$，代入解得：r=30°②
設(shè)折射光線與AB的交點(diǎn)為D．由幾何關(guān)系可知，在D點(diǎn)的入射角 θ=60°
設(shè)全發(fā)射的臨界角為 C，則sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$           
由⑤和已知條件得：C=45°                     
因此，光線在D點(diǎn)全反射．畫(huà)出光路圖如圖．
設(shè)此光線的出射點(diǎn)為E，由幾何關(guān)系得：∠DEB=90°
可得  BD=a-2AF=a-2•$\frac{1}{2}•$acos30°•cos30°=$\frac{1}{4}$a
則 BE=BDsin30°=$\frac{1}{8}$a         
即出射點(diǎn)在BC邊上離B點(diǎn)$\frac{1}{8}$a的位置．
（2）在AB下方鋪設(shè)折射率為n₁的介質(zhì)時(shí)，設(shè)臨界角為C，則有 sinC=$\frac{{n}_{1}}{n}$
要讓光線能從AB邊射出，光線在AB邊不能發(fā)生全反射，則必須滿足：θ＜C
即有 sinθ＜sinC
聯(lián)立解得：n₁＞nsinθ=$\sqrt{2}$×sin60°=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，即n₁＞$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
答：
（1）畫(huà)出光路圖如圖．出射點(diǎn)在BC邊上離B點(diǎn)$\frac{1}{8}$a的位置．
（2）n₁的取值范圍為n₁＞$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是折射定律、全反射和幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用，作出光路圖，掌握并能判斷能否發(fā)生全反射是關(guān)鍵．