Question

如圖所示，與水平面成37°的傾斜軌道AB，其延長(zhǎng)線在C點(diǎn)與半圓軌道CD（軌道半徑R=1m）相切，全部軌道為絕緣材料制成且放在豎直面內(nèi)．整個(gè)空間存在水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，MN的右側(cè)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．一個(gè)質(zhì)量為0.4kg的帶電小球沿斜面下滑，至B點(diǎn)時(shí)速度為V_B=100/7  m/s，接著沿直線BC（此處無(wú)軌道）運(yùn)動(dòng)到達(dá)C處進(jìn)入半圓軌道，進(jìn)入時(shí)無(wú)動(dòng)能損失，且剛好到達(dá)D點(diǎn)，從D點(diǎn)飛出時(shí)磁場(chǎng)消失，不計(jì)空氣阻力，取g=10m/s²，cos37°=0.8，求：
（1）小球帶何種電荷．
（2）小球離開D點(diǎn)后的運(yùn)動(dòng)軌跡與直線AC的交點(diǎn)距C點(diǎn)的距離．
（3）小球在半圓軌道部分克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析：帶電粒子在只有電場(chǎng)的傾斜軌道上做勻加速運(yùn)動(dòng)后，進(jìn)入電場(chǎng)與磁場(chǎng)混合的場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，重力、洛倫茲力與電場(chǎng)力處于平衡狀態(tài)，接著沿半圓軌道運(yùn)動(dòng)剛好能達(dá)到D點(diǎn)，最后從D點(diǎn)做類平拋運(yùn)動(dòng)，此時(shí)所受到的合力正好與速度相互垂直．因此由電場(chǎng)力與電場(chǎng)強(qiáng)度方向可確定小球所帶電性，同時(shí)利用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得小球垂直與速度方向上發(fā)生的位移，從而求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，最終確定沿速度方向的運(yùn)動(dòng)的位移．小球在半圓軌道上由運(yùn)動(dòng)定理可得克服摩擦力做功多少．

解答：解：（1）由小球離開B點(diǎn)后仍能沿直線方向運(yùn)動(dòng)，則可確定電場(chǎng)力、與洛倫茲力的方向，從而可得出小球帶正電．
（2）小球在BC間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則有C點(diǎn)的速度與B點(diǎn)的速度相等，即vc=

100

7

m/s 
在BC段受力如圖所示，設(shè)重力與電場(chǎng)力合力為F，
則有F=qvB，
又F=

mg

cos37°

=5N
解得：qB=

F

v

=

7

20

 
在D處由牛頓第二定律可得：BqvD+F=m

v 2 D

R

由以上兩式可得：v_D=4m/s或vD=-

25

8

m/s（舍去）
小球離開D點(diǎn)后做類平拋運(yùn)動(dòng)，其加速度為：由2R=

1

2

at2得：
t=

2×2R a

=

4mR F

=

2 2

5

s
s=v_Dt=2.26m
（3）設(shè)CD段克服摩擦力做功W_f，
由運(yùn)動(dòng)定理可得：-Wf-2FR=

1

2

m

(v

2 D

-v

2 C

)
解得W_f=27.6J．

點(diǎn)評(píng)：小球從D點(diǎn)飛出后，正好受到重力與電場(chǎng)力且這兩個(gè)力的合力與速度垂直，所以剛好做類平拋運(yùn)動(dòng)．因此可以將傾斜軌道等效看成水平面，相當(dāng)于小球做平拋運(yùn)動(dòng)，從而可以運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律來處理．