Question

3．如圖1所示，寬度為d的豎直狹長區(qū)域內(nèi)（邊界為L₁、L₂），存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場和豎直方向上的周期性變化的電場（如圖2所示），電場強(qiáng)度的大小為E₀，E＞0表示電場方向豎直向上．t=0時(shí)，一帶正電、質(zhì)量為m的微粒從左邊界上的N₁點(diǎn)以水平速度v射入該區(qū)域，沿直線運(yùn)動到Q點(diǎn)后，做二次完整的圓周運(yùn)動（其軌跡恰好不穿出邊界L₁），以后可能重復(fù)該運(yùn)動形式，最后從邊界L₂穿出．重力加速度為g，上述d、E₀、m、v、g為已知量．

（1）求該微粒通過Q點(diǎn)瞬間的加速度；
（2）求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和電場變化的周期T；
（3）若微粒做圓周運(yùn)動的軌道半徑為R，而d=4.5R，使微粒仍能按上述運(yùn)動過程通過相應(yīng)寬度的區(qū)域，求微粒所用的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）微粒做直線運(yùn)動，處于平衡狀態(tài)，由平衡條件求出重力、電場力與洛倫茲力的關(guān)系，粒子做勻速圓周運(yùn)動，重力與電場力合力為零，應(yīng)用牛頓第二定律可以求出加速度．
（2）由平衡條件可以求出B，求出微粒在電場與磁場中的運(yùn)動時(shí)間，然后求出周期．
（3）作出微粒的運(yùn)動軌跡，然后求出其運(yùn)動時(shí)間．

解答 解（1）微粒從N到Q，因做直線運(yùn)動，則：mg+qE₀=qvB，
微粒做圓周運(yùn)動，則：mg=qE₀，
在Q點(diǎn)，由牛頓第二定律得：Bqv=ma，
解得：a=2g；
（2）由mg+qE₀=qvB、mg=qE₀，
解得：B=$\frac{2{E}_{0}}{v}$，
設(shè)微粒從N₁運(yùn)動到Q的時(shí)間為t₁，做圓周運(yùn)動的周期為t₂，因微粒恰好沒穿出L₁邊界，則：R=vt₁，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{v2}{R}$，2πR=vt₂，
聯(lián)立得電場變化的周期：T=t₁+2t₂=$\frac{v}{2g}$+2$\frac{πv}{g}$=$\frac{4π+1}{2g}v$；
（3）若d=4.5R據(jù)題意可畫出微粒如圖的運(yùn)動軌跡．從圖知：
運(yùn)動時(shí)間：t=6T+t₁+$\frac{1}{12}$t₂=6（$\frac{4π+1}{2g}v$）+$\frac{v}{2g}$+$\frac{1}{12}$$\frac{πv}{g}$=$\frac{73π+24}{12g}v$；
答：（1）該微粒通過Q點(diǎn)瞬間的加速度為2g；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{2{E}_{0}}{v}$，電場變化的周期T為$\frac{4π+1}{2g}v$；
（3）微粒所用的時(shí)間為$\frac{73π+24}{12g}v$．

點(diǎn)評 本題考查了求加速度、磁感應(yīng)強(qiáng)度、周期與運(yùn)動時(shí)間，分析清楚微粒運(yùn)動過程是正確解題的前提與觀念，作出粒子運(yùn)動軌跡，應(yīng)用平衡條件、牛頓第二定律、粒子周期公式即可正確解題．