Question

11．如圖所示，有一磁感應(yīng)強度大小為B的水平勻強磁場，其上下水平邊界的間距為H；磁場的正上方有一長方形導(dǎo)線框，其長和寬分別為L、d（d＜H），質(zhì)量為m，電阻為R．現(xiàn)將線框從其下邊緣與磁場上邊界間的距離為h處由靜止釋放，測得線框進(jìn)入磁場的過程所用的時間為t．線框平面始終與磁場方向垂直，線框上下邊始終保持水平，重力加速度為g．求：
（1）線框下邊緣剛進(jìn)入磁場時線框中感應(yīng)電流的大小和方向；
（2）線框的上邊緣剛進(jìn)磁場時線框的速率v₁；
（3）線框下邊緣剛進(jìn)入磁場到下邊緣剛離開磁場的全過程中產(chǎn)生的總焦耳熱Q．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)機械能守恒，根據(jù)E=BLv₀即可求出感應(yīng)電動勢，進(jìn)而求感應(yīng)電流．根據(jù)右手定則判斷電流的方向．
（2）線圈進(jìn)入磁場的過程中，加速度變化，用微元法列式，有（mg-BIL）△t=m△v，對此式兩邊求和，另外，可求得時間t內(nèi)，通過線框某一橫截面的電荷量．結(jié)合各式可求；
（3）線圈完全處于磁場中時不產(chǎn)生電熱，線圈進(jìn)入和穿出磁場過程中產(chǎn)生的電熱Q等于重力做的功減去動能變化量，由能量守恒可解得Q．

解答 解：（1）線框由靜止釋放到下邊緣剛進(jìn)入磁場的過程，做自由落體運動，有：v=$\sqrt{2gh}$，
即線框下邊緣剛進(jìn)入磁場的速率為：v₀=$\sqrt{2gh}$，
線框下邊緣切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為：E=BLv₀，
感應(yīng)電流的大小為：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BL\sqrt{2gh}}{R}$，
根據(jù)右手定則判斷知，線框中感應(yīng)電流的方向沿逆時針方向．
（2）在線框下邊緣剛進(jìn)入磁場到上邊緣剛進(jìn)入磁場的過程中，
根據(jù)微元法，取一小段時間△t，時間內(nèi)速度的減少量為△v，
由動量定理可得：（mg-BIL）△t=m△v，即mg△t-BIL△t=m△v
在時間△t內(nèi)，通過線框某一橫截面的電荷量為：△q=I△t
對mg△t-BIL△t=m△v兩邊求和得：mgt-BLq=m（v₁-v₀）
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律有：$\overline{E}$=$\frac{BLd}{t}$
根據(jù)閉合電路歐姆定律有：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R}$
在時間t內(nèi)，通過線框某一橫截面的電荷量為：q=$\frac{BLd}{R}$
解得v₁=gt+$\sqrt{2gh}$-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}d}{mR}$
（3）在線框下邊緣剛進(jìn)入磁場到下邊緣剛離開磁場的全過程中，線框進(jìn)入磁場的過程中才有焦耳熱產(chǎn)生，根據(jù)能量守恒定律有：
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$+mgd=$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$+Q，
解得：Q=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$+mgd-$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$=mg（h+d）-$\frac{1}{2}$m（gt+$\sqrt{2gh}$-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}d}{mR}$）²．
答：（1）線框下邊緣剛進(jìn)入磁場時線框中感應(yīng)電流的大小為$\frac{BL\sqrt{2gh}}{R}$，方向逆時針；
（2）線框的上邊緣剛進(jìn)磁場時線框的速率為gt+$\sqrt{2gh}$-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}d}{mR}$；
（3）線框下邊緣剛進(jìn)入磁場到下邊緣剛離開磁場的全過程中產(chǎn)生的總焦耳熱Q為mg（h+d）-$\frac{1}{2}$m（gt+$\sqrt{2gh}$-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}d}{mR}$）²．

點評 此題第2問較難，線框進(jìn)入磁場的過程加速度是變化的，“線框進(jìn)入磁場的過程所用的時間為t”是解答此問的關(guān)鍵條件，通過微元法可求得線框的上邊緣剛進(jìn)磁場時線框的速率．求熱量時，往往根據(jù)能量守恒或動能定理研究．