Question

19．如圖所示，一透明半球的半徑為R，對單色光a和b的折射率分別為n₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$和n₂=2．真空中兩細束平行單色光a和b從半球的左、右兩側(cè)沿半球的平面上的一條直徑向球心移動，光始終與透明半球的平面垂直．一旦光束到某一位置恰好從透明半球的球面射出（不考慮光在透明介質(zhì)中的多次反射后再射出球面）即停止移動．將此時a、b入射點分別記為P、Q（圖中未畫出）求：
①PQ的距離d．
②設真空中光束為c，現(xiàn)讓單色光束a和b分別從P、Q兩點，同時垂直入射，求兩束光到達相交位置的時間差△t．

Answer 1

分析 ①由sinC=$\frac{1}{n}$求出兩束光的臨界角，由題意知道a、b兩光束射到半球圓弧上時入射角等于臨界角，由幾何知識求解兩細束單色光a和b的距離d；
②由v=$\frac{c}{n}$求出光在半球中傳播的速度，由幾何知識求出光在半球內(nèi)、外傳播的距離，即可求得各自傳到交點的時間，從而得到時間差．

解答 解：①設單色光束a和b在透明半球中全反射的臨界角分別為C₁和C₂．
對單色光a，若從P處入射時恰好從透明半球面O₁出射，則：
sinC₁=$\frac{1}{{n}_{1}}$，
得臨界角為：C₁=60°
對單色光b，若從Q處入射時恰好從透明半球面O₂出射，則：
sinC₂=$\frac{1}{{n}_{2}}$，
得臨界角：C₂=30°
由幾何知識得：d=OP+OR=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$R
②設從球面射出的兩單色光交于O₃，如圖光路所示，由于OO₁=OO₂=R 且OO₁⊥OO₂，故OO₁O₃O₂為正方形
a光路徑為PO₁O₃，b光路徑為PO₂O₃，傳播形成時間差為：
△t=$\frac{P{O}_{2}}{\frac{c}{{n}_{2}}}$-$\frac{P{O}_{1}}{\frac{c}{{n}_{1}}}$=$\frac{2\sqrt{3}R}{3c}$
答：①PQ的距離d是$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$R．
②兩束光到達相交位置的時間差△t是$\frac{2\sqrt{3}R}{3c}$．

點評 本題要掌握全反射臨界角公式sinC=$\frac{1}{n}$，能靈活運用幾何知識求解相關角度和距離，要作出光路圖幫助解答．