Question

（2013·北京豐臺(tái)二模，24題）（20分）

如圖所示，一個(gè)光滑、絕緣水平高臺(tái)的右面空間中存在范圍足夠大且水平向左的勻強(qiáng)電場，高臺(tái)邊緣靜置一個(gè)帶電量為+q、質(zhì)量為m的小球B，另有一個(gè)絕緣不帶電的小球A（大小與小球B相同，質(zhì)量大于m）以初速度v₀向B運(yùn)動(dòng)，A與B發(fā)生彈性碰撞后水平進(jìn)入電場，發(fā)生再次碰撞后落到水平地面。已知?jiǎng)驈?qiáng)電場的電場場強(qiáng)為E=，重力加速度為g。（小球A、B碰撞過程中電荷不發(fā)生轉(zhuǎn)移）

（1）如果小球A的質(zhì)量為3 m，求：

①小球A、B發(fā)生彈性碰撞（首次碰撞）后各自的速度；

②小球A、B再次碰撞前運(yùn)動(dòng)過程中相距的最大距離；

③B小球在電場中與A小球再次碰撞前具有的動(dòng)能；

（2）如果保持B的質(zhì)量不變，改變A的質(zhì)量，其它條件不變，A、B小球再次碰撞前運(yùn)動(dòng)過程中相距的最大距離及再次碰撞發(fā)生的高度是否發(fā)生變化？試證明你的結(jié)論。

 

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）①A與B發(fā)生彈性碰撞

            ①    ……（1分）

    ②    ……（1分）

聯(lián)立①②解得

，    ……（2分）

 

②A球不帶電，所以出平臺(tái)后做平拋運(yùn)動(dòng)，在豎直方向做自由落體，水平為勻速運(yùn)動(dòng)； B球在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，在水平方向做類豎直上拋運(yùn)動(dòng)（假定向右為上），所以兩球在豎直方向運(yùn)動(dòng)情況相同，始終保持在同一高度。

    ③    ……（1分）

   ④    ……（1分）

B球在水平方向上的加速度為 ⑤   ……（1分）

所以：在飛行過程中A與B的距離為

   ……（2分）

所以當(dāng)時(shí)，有最大值為    ……（2分）

（另解：當(dāng)小球B水平分速度減小到時(shí)，二者相距最遠(yuǎn)，有

解得，此時(shí)相距）

③再次發(fā)生碰撞時(shí)有  ⑥    ……（1分）

聯(lián)立③④⑤⑥解得發(fā)生再次碰撞的時(shí)間，……（1分）

再次碰撞點(diǎn)離平臺(tái)的高度 ⑦……（1分）

由動(dòng)能定理   ⑧ …… （1分）

解得……（1分）

（2）如果保持B的質(zhì)量不變，改變A的質(zhì)量，

A與B發(fā)生彈性碰撞

      ⑨  

    ⑩

聯(lián)立⑨⑩解得

（與A、B小球質(zhì)量無關(guān)）  ……（2分）

所以在飛行過程中A與B的距離為  

仍有當(dāng)時(shí)，有最大值為，A、B小球再次碰撞前運(yùn)動(dòng)過程中相距的最大距離不發(fā)生改變。……（1分）

同理發(fā)生再次碰撞的時(shí)間始終為，所以再次碰撞點(diǎn)離平臺(tái)的高度為，不發(fā)生改變，即再次碰撞發(fā)生一個(gè)固定高度。……（1分）