Question

（16分）如圖所示，相距的AB、CD兩直線間的區(qū)域存在著兩個(gè)大小不同、方向相反的有界勻強(qiáng)電場(chǎng)，其中PT上方的電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)方向豎直向下，PT下方的電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)方向豎直向上，在電場(chǎng)左邊界AB上寬為的PQ區(qū)域內(nèi)，連續(xù)分布著電量為、質(zhì)量為的粒子。從某時(shí)刻起由Q到P點(diǎn)間的帶電粒子，依次以相同的初速度沿水平方向垂直射入勻強(qiáng)電場(chǎng)中，若從Q點(diǎn)射入的粒子，通過(guò)PT上的某點(diǎn)R進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)后從CD邊上的M點(diǎn)水平射出，其軌跡如圖，若MT兩點(diǎn)的距離為。不計(jì)粒子的重力及它們間的相互作用。試求：

（1）電場(chǎng)強(qiáng)度與；

（2）在PQ間還有許多水平射入電場(chǎng)的粒子通過(guò)電場(chǎng)后也能垂直CD邊水平射出，這些入射點(diǎn)到P點(diǎn)的距離有什么規(guī)律？

（3）有一邊長(zhǎng)為、由光滑絕緣壁圍成的正方形容器，在其邊界正中央開(kāi)有一小孔S，將其置于CD右側(cè)，若從Q點(diǎn)射入的粒子經(jīng)AB、CD間的電場(chǎng)從S孔水平射入容器中。欲使粒子在容器中與器壁多次垂直碰撞后仍能從S孔射出(粒子與絕緣壁碰撞時(shí)無(wú)能量和電量損失)，并返回Q點(diǎn)，在容器中現(xiàn)加上一個(gè)如圖所示的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，粒子運(yùn)動(dòng)的半徑小于，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小還應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

（1）、

（2）（n＝0、1、2、3、……）

（3）或

解析:

（解法一）（1）設(shè)粒子經(jīng)PT直線上的點(diǎn)由電場(chǎng)進(jìn)入電場(chǎng)，由Q到及到點(diǎn)的時(shí)間分別為與，到達(dá)時(shí)豎直速度為，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可知：

…………①

…………②

…………③

…………④

由①②③④式解得：，、。

（解法二）（1）由圖知粒子從兩板間射出箭后速度方向未發(fā)生變化得上下兩磁場(chǎng)對(duì)粒子做功相等，即：，又∵，

∴…………①

粒子從Q運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)總時(shí)間為

在電場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

在電場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：

∴…………②

由①②式解得：，

（2）及③式可得:，因沿PT方向粒子做勻速運(yùn)動(dòng)，故P、R兩點(diǎn)間的距離是R、T兩點(diǎn)間距離的兩倍。即粒子在電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)在PT方向的位移是在電場(chǎng)中的兩倍。

設(shè)PQ間到P點(diǎn)距離為的F處射出的粒子通過(guò)電場(chǎng)后也沿水平方向，若粒子第一次達(dá)PT直線用時(shí)，水平位移為，則：、

    粒子在電場(chǎng)中可能做類平拋運(yùn)動(dòng)后垂直CD邊射出電場(chǎng)，也可能做類斜拋運(yùn)動(dòng)后返回電場(chǎng)，在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)垂直CD水平射出，或在電場(chǎng)中做類斜拋運(yùn)動(dòng)再返回電場(chǎng)。

    若粒子從電場(chǎng)垂直CD射出電場(chǎng)，則：，（n＝0、1、2、3、……）

解得：（n＝0、1、2、3、……）

    若粒子從電場(chǎng)垂直CD射出電場(chǎng)，則（k＝1、2、3、……）

解得：（k＝1、2、3、……）

即PF間的距離為：其中n＝0、1、2、3、……，k＝1、2、3、……

或（n＝1、2、3、……

解得：（n＝1、2、3、……）

即PF間的距離為：（n=1，2，3，……）

（3）（6分）欲使粒子仍能從S孔處射出，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡可能是如圖甲、乙所示的兩種情況。對(duì)圖甲所示的情形，粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為，則

又

解得：

對(duì)圖乙所示的情形，粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為，

又

綜合、得：

或