Question

19．如圖所示，在傾角為θ=37°的斜面底端固定有一輕質(zhì)彈簧，自由放置時(shí)其上端位于M點(diǎn)，M點(diǎn)距斜面最高點(diǎn)P的距離L=2m．把質(zhì)量為m=1kg的小球放于M點(diǎn)，通過外力控制小球?qū)�彈簧壓縮至N點(diǎn)后自由釋放（小球與彈簧不相連，其中MN 的距離d=0.5m），小球通過M點(diǎn)后上升過程中位移隨時(shí)間變化的關(guān)系為x=6t-4t²，之后小球從P點(diǎn)沿切線進(jìn)入豎直放置的光滑圓弧形圓管軌道運(yùn)動(dòng)，圓弧軌道半徑R=0.4m，圓管內(nèi)徑可忽略不計(jì)（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²）． 求：
（1）小球與斜面之間的動(dòng)摩擦系數(shù)μ；
（2）彈簧壓縮至N點(diǎn)時(shí)具有的彈性勢能E_P；
（3）小球運(yùn)動(dòng)到圓弧最高點(diǎn)Q時(shí)，小球?qū)�軌道彈力的大小和方向�?

Answer 1

分析 （1）小球通過M點(diǎn)后上升過程中位移隨時(shí)間變化的關(guān)系為x=6t-4t²，結(jié)合位移公式得到初速度和加速度，然后受力分析后根據(jù)牛頓第二定律列式求解動(dòng)摩擦因素；
（2）對從N到M過程，小球和彈簧系統(tǒng)機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式求解彈簧壓縮至N點(diǎn)時(shí)具有的彈性勢能E_P；
（3）小球運(yùn)動(dòng)到圓弧最高點(diǎn)Q時(shí)，彈力和重力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式；再對從P到Q過程根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式；最后聯(lián)立求解．

解答 解：（1）由題意知，小球在M點(diǎn)的速度為：v₀=6m/s；
小球離開彈簧后在斜面上運(yùn)動(dòng)的加速度為：a=8m/s²；
對小球離開彈簧后，由牛頓第二定律，有：
ma=mgsinθ+μmgcosθ
解得：μ=0.25
（2）小球從N運(yùn)動(dòng)到M過程中，由功能關(guān)系，有：
${E}_{p}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+mgdsinθ+μmgdcosθ$ 
代入數(shù)據(jù)解得：E_p=22J
（3）小球從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)：L=2=6t-4t²，
解得：t=0.5s，t=1s（舍去），此時(shí)速度為：v_p=2m/s
從P到Q機(jī)械能守恒得：$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}+mgR（1-cos37°）$
解得：${v}_{Q}=\sqrt{2.4}m/s$
在Q點(diǎn)，向心力方程：${F}_{N}+mg=m\frac{{v}_{Q}^{2}}{R}$
解得：F_N=-4N
小球受到向上的彈力，根據(jù)牛頓第三定律，小球?qū)��?nèi)軌作用力大小為4N，方向豎直向下；
答：（1）小球與斜面之間的動(dòng)摩擦系數(shù)μ為0.25；
（2）彈簧壓縮至N點(diǎn)時(shí)具有的彈性勢能為22J；
（3）小球運(yùn)動(dòng)到圓弧最高點(diǎn)Q時(shí)，小球?qū)�軌道彈力的大小�?N，方向?yàn)樨Q直向下．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是明確小球的受力情況、運(yùn)動(dòng)情況和能量轉(zhuǎn)化情況，結(jié)合牛頓第二定律、機(jī)械能守恒定律和向心力公式列式求解，不難．