Question

（2009?煙臺二模）如圖所示，豎直放置的光滑半圓形軌道與光滑水平面AB相切于B點(diǎn)，半圓形軌道的最高點(diǎn)為C．輕彈簧一端固定在豎直擋板上，另一端有一質(zhì)量為0.1kg的小球（小球與彈簧不相連）．用力將小球向左推，小球?qū)�彈簧壓縮一定量時(shí)用細(xì)繩固定�。�此時(shí)彈簧的彈性勢能為4.05J．燒斷細(xì)繩，彈簧將小球彈出．取g=10m/s²，求
（1）欲使小球能通過最高點(diǎn)C，則半圈形軌道的半徑最大為多少？
（2）欲使小球通過最高點(diǎn)C后落到水平面上的水平距離最大，則半圓形軌道的半徑為多大？落點(diǎn)至B點(diǎn)的最大距離為多少？

Answer 1

分析：（1）小球從彈簧釋放到運(yùn)動到最高點(diǎn)的過程，可分兩個(gè)過程：彈簧釋放過程、小球離開彈簧到運(yùn)動到最高點(diǎn)的過程．彈簧釋放過程，小球與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，即可求出小球獲得的初速度．B到C的過程，小球的機(jī)械能守恒．在C點(diǎn)，由重力和軌道的彈力的合力提供向心力，根據(jù)機(jī)械能守恒和牛頓第二定律結(jié)合求解；
（2）小球離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動，根據(jù)平拋運(yùn)動的規(guī)律和機(jī)械能守恒結(jié)合得到小球平拋水平距離與軌道半徑的關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識求極值．

解答：解：（1）彈簧釋放過程，由EP=

1

2

m

v

2 1

…得 v₁=

2EP m

=9m/s
B到C的運(yùn)動過程中，由機(jī)械能守恒得

1

2

m

v

2 1

=mg(2r)+

1

2

m

v

2 2

…
在C點(diǎn)有  mg+N=m

v 2 2

r

…
由N≥0
得r≤

81

50

m…
得rm=

81

50

=1.62m…
（2）小球做平拋運(yùn)動過程，y=

1

2

gt2=2r…x=v₃t
由系統(tǒng)機(jī)械能守恒得  EP=mg(2r)+

1

2

m

v

2 3

…
由以上得x=

(8.1-4r)4r

…
根據(jù)數(shù)學(xué)知識得：當(dāng)（8.1-4r）=4r時(shí)，x有極值
即r=

8.1

8

=1.01m時(shí)              
得 x_m=4r=4.04m
答：
（1）欲使小球能通過最高點(diǎn)C，則半圈形軌道的半徑最大為1.62m．
（2）欲使小球通過最高點(diǎn)C后落到水平面上的水平距離最大，則半圓形軌道的半徑為1.01m，落點(diǎn)至B點(diǎn)的最大距離為4.04m．

點(diǎn)評：本題是機(jī)械能守恒、牛頓第二定律和平拋運(yùn)動的綜合，要掌握力學(xué)基本規(guī)律，同時(shí)要能運(yùn)用數(shù)學(xué)知識求極值．