Question

如圖所示，半徑為2R的

1

4

圓弧光滑軌道AB和半徑為R的

1

4

圓弧粗糙軌道BC相切于B點(diǎn)，兩軌道置于豎直平面內(nèi)，O、O′分別為兩圓孤的圓心，O、O′、B三點(diǎn)在一條豎直線(xiàn)上，在C點(diǎn)的上方緊靠C點(diǎn)處有一厚度不計(jì)的水平旋轉(zhuǎn)平臺(tái)，平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為，沿平臺(tái)的一條直徑上開(kāi)有兩個(gè)小孔P、Q，兩孔離軸心距離相等，旋轉(zhuǎn)時(shí)兩孔均能到達(dá)C點(diǎn)正上方，一質(zhì)量為m的小球自A點(diǎn)由靜止開(kāi)始下滑，滑過(guò)C點(diǎn)后恰能無(wú)碰撞的穿過(guò)小孔P，后又恰好無(wú)碰撞的穿過(guò)小孔Q后落入軌道中，不計(jì)空氣阻力．求：
（1）小球第一次滑過(guò)B點(diǎn)前、后瞬時(shí)對(duì)軌道的壓力大�。�
（2）小球第一次滑過(guò)C點(diǎn)時(shí)的速度大�。�
（3）小球第一次經(jīng)過(guò)BC段的過(guò)程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

（1）小球從A點(diǎn)處滑至B點(diǎn)時(shí)速度為v_B，由動(dòng)能定理得：
mg?2R=

1

2

mv_B²，
小球從A點(diǎn)處滑至B點(diǎn)前瞬時(shí)，對(duì)軌道的壓力為N₁，由牛頓第二定律得：
N₁-mg=m

v 2B

2R

小球從A點(diǎn)處滑至B點(diǎn)后瞬時(shí)，對(duì)軌道的壓力為N₂，由牛頓第二定律得：
N₂-mg=m

v 2B

R

解得：N₁=3mg，N₂=5mg
（2）小球從C點(diǎn)處滑出后，先做勻減速上升，后自由落體，根據(jù)題意得小球在空中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間
t=

(2n+1)π

ω

  （n=0，1，2，3…）
小球第一次向上滑過(guò)C點(diǎn)時(shí)的速度v_C=

gt

2

，
v_C=

g(2n+1)π

2ω

，（n=0，1，2，3…）
（3）小球從A至C的過(guò)程中，小球克服摩擦力做功為W，由動(dòng)能定理得：
mgR-W═

1

2

mv_C²
解得：W=mgR-

mg2π2(2n+1)2

8ω2

，（n=0，1，2，3…）
答：（1）小球第一次滑過(guò)B點(diǎn)前、后瞬時(shí)對(duì)軌道的壓力大小分別是3mg，5mg；
（2）小球第一次滑過(guò)C點(diǎn)時(shí)的速度大小是 

g(2n+1)π

2ω

，（n=0，1，2，3…）；
（3）小球第一次經(jīng)過(guò)BC段的過(guò)程中克服摩擦力所做的功是mgR-

mg2π2(2n+1)2

8ω2

，（n=0，1，2，3…）．