Question

16．如圖所示，光滑水平地面上方ABCD區(qū)域存在互相垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度E=1×10⁶N/C，方向豎直向上，AD距離為2m，CD高度為1m，一厚度不計(jì)的絕緣長(zhǎng)木板其右端距B點(diǎn)2m，木板質(zhì)量M=2kg，在木板右端放有一帶電量q=+1×10^-6C的小鐵塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），其質(zhì)量m=0.1kg，小鐵塊與木板間動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.4，現(xiàn)對(duì)長(zhǎng)木板施加一水平向右的恒力F₁=12.4N，作用1s后撤去恒力，g取10m/s²．
（1）求前1s小鐵塊的加速度大小a_m，長(zhǎng)木板加速度大小a_M；
（2）要使小鐵塊最終回到長(zhǎng)木板上且不與長(zhǎng)木板發(fā)生碰撞，求磁感強(qiáng)度B的最小值；
（3）在t=1s時(shí)再給長(zhǎng)木板施加一個(gè)水平向左的力F₂，滿足（2）條件下，要使小鐵塊回到長(zhǎng)木板時(shí)恰能相對(duì)長(zhǎng)木板靜止，求木板的最小長(zhǎng)度（計(jì)算過程π取3.14）．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)F作用在木板時(shí)，對(duì)木板和小鐵塊進(jìn)行受力分析，由牛頓第二定律求出各自加速度．
（2）進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)后，由于重力與電場(chǎng)力相等，方向相反，則進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)后小鐵塊做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)半徑恰等于1m時(shí)，小鐵塊與長(zhǎng)木板恰不發(fā)生碰撞，即此時(shí)小鐵塊的軌跡恰不為$\frac{1}{4}$圓周時(shí)，半徑最大，磁感應(yīng)強(qiáng)度最小，由洛侖茲力提供向心力求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值．
（3）在滿足上一問的情況下，要使小鐵塊回到長(zhǎng)木板時(shí)恰能相對(duì)長(zhǎng)木板靜止，則要求小鐵塊回到磁場(chǎng)與長(zhǎng)木板的速度相等，且到達(dá)長(zhǎng)長(zhǎng)木板的最左端．那么先求出小鐵塊在磁場(chǎng)和磁場(chǎng)外運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間，則該時(shí)間內(nèi)再求長(zhǎng)木板的位移，由幾何關(guān)系從而求出木板的最小長(zhǎng)度．

解答 解：（1）當(dāng)F作用在長(zhǎng)木板上時(shí)，對(duì)小鐵塊由μmg=ma
得：a_m=4m/s²
對(duì)長(zhǎng)木板由F-μmg=Ma_m
a_m=6m/s²
（2）由于mg=qE，此后小鐵塊進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)r＞1m時(shí)，
鐵塊必定會(huì)與木板碰撞，當(dāng)r＜1m時(shí)有可能不會(huì)相撞，但B不是最小值，
因此要使得小鐵塊與長(zhǎng)木板不發(fā)生碰撞，其圓周運(yùn)動(dòng)最大半徑r=1m，
由qv_mB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
速度v_m=a_mt=4m/s
得B=$\frac{m{v}_{m}}{qr}$=4×10⁵T
（3）長(zhǎng)木板運(yùn)動(dòng)1s末位移x_M=$\frac{1}{2}{a}_{M}{t}^{2}$=3m
速度v_M=a_Mt=6m/s
小鐵塊運(yùn)動(dòng)1s末位移x_m=$\frac{1}{2}{a}_{m}{t}^{2}$=2m
撤去F后長(zhǎng)木板減速運(yùn)動(dòng)，小鐵塊離開長(zhǎng)木板后先在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
出場(chǎng)后豎直上拋，設(shè)小鐵塊離開長(zhǎng)木板的總時(shí)間t₁=$\frac{T}{2}$=$\frac{πm}{qB}$=0.78s
所以△t=t₁+t₂=1.58s
若小鐵塊回到木板時(shí)不發(fā)生滑動(dòng)，則木板速度與小鐵塊相同，此過程中木板勻減速
運(yùn)動(dòng)位移為x_M′=$\frac{{v}_{M}+{v}_{m}}{2}×△t$=7.925m
此時(shí)小鐵塊從C點(diǎn)滑上長(zhǎng)木板，距木板右端△x₁=（x_M-x_m）+（x_M′-2）
代入數(shù)據(jù)得木板的最小長(zhǎng)度△x₁=（3+$\frac{5π}{4}$）m=6.925m
答：（1）前1s小鐵塊的加速度大小a_m為4m/s²，長(zhǎng)木板加速度大小a_M為6m/s²．
（2）要使小鐵塊最終回到長(zhǎng)木板上且不與長(zhǎng)木板發(fā)生碰撞，磁感強(qiáng)度B的最小值是4×10⁵T．
（3）在t=1s時(shí)再給長(zhǎng)木板施加一個(gè)水平向左的力F₂，滿足（2）條件下，要使小鐵塊回到長(zhǎng)
   木板時(shí)恰能相對(duì)長(zhǎng)木板靜止，則木板的最小長(zhǎng)度是6.925m．

點(diǎn)評(píng) 本題的難點(diǎn)在第三問：用隔離法，求出每一個(gè)過程的末速度和位移，小鐵塊的運(yùn)動(dòng)是先隨長(zhǎng)木板做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場(chǎng)后做$\frac{1}{4}$圓周運(yùn)動(dòng)，離開磁場(chǎng)后又做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，回到磁場(chǎng)時(shí)，又反方向$\frac{1}{4}$圓周運(yùn)動(dòng)，求時(shí)這些過程的總時(shí)間，在此時(shí)間內(nèi)小鐵塊恰好落在長(zhǎng)木板上且與木板的速度相等，兩者在這段時(shí)間的水平位移差就是長(zhǎng)木板的最小長(zhǎng)度．