Question

如圖甲所示，一個(gè)絕緣傾斜直軌道固定在豎直面內(nèi)，軌道的AB部分粗糙，BF部分光滑．整個(gè)空間存在著豎直方向的周期性變化的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化規(guī)律如圖乙所示，t=0時(shí)電場(chǎng)方向豎直向下．在虛線的右側(cè)存在著垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=

2πm

q

．現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為m，電量為q的帶正電的物體（可以視為質(zhì)點(diǎn)），在t=0時(shí)從A點(diǎn)靜止釋放，物體與軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，t=2s時(shí)刻，物體滑動(dòng)到B點(diǎn)．在B點(diǎn)以后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，物體沒(méi)有離開(kāi)磁場(chǎng)區(qū)域，物體在軌道上BC段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1s，在軌道上CD段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間也為1s．（物體所受到的洛倫茲力小于2mgcosθ）
（1）若軌道傾角為θ，求物塊滑動(dòng)到B的速度大�。�
（2）若軌道傾角θ角未知，而已知BC及CD的長(zhǎng)度分別為S₁、S₂，求出傾角θ的三角函表達(dá)式（用S₁、S₂、g表示）
（3）觀察物體在D點(diǎn)以后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)它并未沿著斜面運(yùn)動(dòng)，而且物塊剛好水平打在H點(diǎn)處的豎直擋板（高度可以忽略）上停下，斜面傾角θ已知，求F點(diǎn)與H點(diǎn)的間距L．

Answer 1

分析：（1）在0～1s內(nèi)，電場(chǎng)力方向豎直向下，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，從而根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出末速度，在1～2s內(nèi)，電場(chǎng)力方向豎直向上，大小等于重力，物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出物體在光滑斜面上運(yùn)動(dòng)的加速度，根據(jù)相等時(shí)間內(nèi)的位移之差是一恒量，求出傾角θ的表達(dá)式．
（3）物體在D點(diǎn)重力和電場(chǎng)力平衡，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓弧的軌跡恰好相切于H點(diǎn)，根據(jù)幾何關(guān)系，結(jié)合帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的半徑公式求出F點(diǎn)與H點(diǎn)的間距L．

解答：解：（1）由題意可知 qE=mg       
t=0 到t=1s過(guò)程中，對(duì)物體有
2mgsinθ-2μmgcosθ=ma               
t=1s到t=2s過(guò)程中物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以
V_B=at₀=2gsinθ-2μgcosθ               
其中t₀=1s
（2）物體在t=2s到t=3s做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為
a'=2gsinθ                        
在t=3s到t=4s做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期為T=

2πm

qB

=1s
剛好完成一周，在t=4s到t=5s繼續(xù)以a'做勻加速運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，則
S₂-S₁=a't₀²
解得：sinθ=

S2-S1

2g

（3）物體運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)速度為
V_D=V_B+a'?2t₀=6gsinθ-2μg cosθ       
離開(kāi)D點(diǎn)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為R，軌跡如圖，則qBVD=

m V 2 D

R

由幾何關(guān)系可知 

L

R

=tan

θ

2

聯(lián)立解得L=

g

π

(3sinθ-μcosθ)tan

θ

2

答：（1）若軌道傾角為θ，求物塊滑動(dòng)到B的速度大小為2gsinθ-2μgcosθ．
（2）傾角θ的三角函表達(dá)式為sinθ=

S2-S1

2g

（用S₁、S₂、g表示）；
（3）F點(diǎn)與H點(diǎn)的間距L為

g

π

(3sinθ-μcosθ)tan

θ

2

．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵搞清物體在整個(gè)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)物體的受力，判斷物體的運(yùn)動(dòng)，物體經(jīng)歷了勻加速直線運(yùn)動(dòng)、勻速直線運(yùn)動(dòng)，以及勻加速直線運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)，過(guò)程較復(fù)雜，且與數(shù)學(xué)幾何結(jié)合的比較緊密，對(duì)數(shù)學(xué)能力的要求較高．