Question

19．如圖所示，真空中有以（r，0）為圓心，半徑為r的圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里，在y=r的虛線上方足夠大的范圍內(nèi)，有方向水平向左的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度為E．有一質(zhì)子從O點(diǎn)沿x軸正方向射入磁場，質(zhì)子在磁場中的偏轉(zhuǎn)半徑也為r，已知質(zhì)子的電荷量為q，質(zhì)量為m，不計(jì)重力．求：
（1）質(zhì)子射入磁場時(shí)速度的大��；
（2）質(zhì)子到達(dá)y軸所需的時(shí)間；
（3）質(zhì)子到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑公式求出質(zhì)子的速度大小．
（2）根據(jù)質(zhì)子的在磁場中的周期公式求出在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，進(jìn)入電場后做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出在電場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，從而得出到達(dá)y軸所需的時(shí)間．
（3）根據(jù)幾何關(guān)系，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出粒子在y軸上的縱坐標(biāo)．

解答 解：（1）質(zhì)子射入磁場后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得，
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得v=$\frac{qBr}{m}$．
（2）由幾何關(guān)系知，質(zhì)子沿x軸正向射入磁場后經(jīng)$\frac{1}{4}$圓弧后以速度v垂直于電場方向進(jìn)入電場，在磁場中運(yùn)動(dòng)周期T=$\frac{2πr}{v}$，
在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間${t}_{1}=\frac{T}{4}=\frac{πm}{2qB}$，
進(jìn)入電場后質(zhì)子做類平拋運(yùn)動(dòng)，沿電場方向運(yùn)動(dòng)r后到達(dá)y軸，
r=$\frac{1}{2}a{{t}_{2}}^{2}$，
qE=ma，
解得${t}_{2}=\sqrt{\frac{2r}{a}}=\sqrt{\frac{2mr}{qE}}$．
所求時(shí)間t=t₁+t₂=$\frac{πm}{2qB}+\sqrt{\frac{2mr}{qE}}$．
（3）質(zhì)子在磁場中轉(zhuǎn)動(dòng)90°角后從P點(diǎn)垂直于電場線進(jìn)入電場．
由幾何關(guān)系知，P點(diǎn)距y軸的距離x₁=r，
P點(diǎn)距x軸的距離y₁=r，
質(zhì)子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，${x}_{1}=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{{t}_{2}}^{2}$，
y₁=vt₂，
解得${y}_{1}=Br\sqrt{\frac{2qr}{mE}}$．
質(zhì)子到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)為（0，$r+Br\sqrt{\frac{2qr}{mE}}$）．
答：（1）質(zhì)子射入磁場時(shí)速度的大小為$\frac{qBr}{m}$；
（2）質(zhì)子到達(dá)y軸所需的時(shí)間為$\frac{πm}{2qB}+\sqrt{\frac{2mr}{qE}}$．；
（3）質(zhì)子到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)為（0，$r+Br\sqrt{\frac{2qr}{mE}}$）．

點(diǎn)評 本題考查了帶電粒子在磁場和電場中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵作出軌跡圖，結(jié)合半徑公式、周期公式以及牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式綜合求解．