Question

8．如圖所示，傾角為30^o的光滑斜面AB長(zhǎng)L₁=0.4m，B端距水平地面h=0.8m，O在B點(diǎn)的正下方，B點(diǎn)右端接一光滑小圓�。▓D上未畫(huà)出），圓弧右端切線水平，且與一長(zhǎng)L₂=1.0m的水平木板MN平滑連接．小滑塊從A端由靜止釋放后運(yùn)動(dòng)到N端恰好停止．
（1）求滑塊到達(dá)B點(diǎn)速度v_B的大��；
（2）求滑塊與木板MN之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；
（3）若將木板右側(cè)截去長(zhǎng)為△L的一段，滑塊從A端由靜止釋放后將滑離木板，落在水平地面上某點(diǎn)P（圖中未標(biāo)出）．求落地點(diǎn)P距O點(diǎn)的距離范圍．

Answer 1

分析 （1）滑塊在斜面上做勻加速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求得加速度，再由速度位移公式求滑塊到達(dá)B點(diǎn)速度v_B的大�。换蚋鶕�(jù)機(jī)械能守恒定律列式求解B點(diǎn)速度．
（2）滑塊從M到N過(guò)程中，滑動(dòng)摩擦力對(duì)滑塊做負(fù)功，根據(jù)動(dòng)能定理求出木板與滑塊的動(dòng)摩擦因數(shù)；
（3）若將木板右端截去長(zhǎng)為△L的一段，根據(jù)動(dòng)能定理求出滑塊滑到木板右端的速度，由平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)得出落地點(diǎn)P距O點(diǎn)的距離與△L的關(guān)系，由數(shù)學(xué)知識(shí)求出此距離的范圍．

解答 解：（1）滑塊在斜面上做勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
mgL₁sin30°=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$            
代入數(shù)據(jù)解得：v_B=2m/s
（2）滑塊在水平面上做勻減速運(yùn)動(dòng)，滑塊從M運(yùn)動(dòng)到N過(guò)程中所受的摩擦力大小為：f=μN(yùn)=μmg
根據(jù)動(dòng)能定理得：-fL₂=0-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$ 
代入數(shù)據(jù)解得：μ=0.2
（3）解法一：
設(shè)木板右側(cè)截取長(zhǎng)度為△L后，則滑塊離開(kāi)木板后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)平拋的初速度為v₀，則：
  ${v}_{0}^{2}-{v}_{B}^{2}$=-2a₂（L₂-△L）
得 v₀=$\sqrt{{v}_{B}^{2}-2{a}_{2}（{L}_{2}-△L）}$
又 h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，x=v₀t=$\sqrt{[{v}_{B}^{2}-2{a}_{2}（{L}_{2}-△L）\frac{2h}{g}}$
代入數(shù)據(jù)得：x=0.8$\sqrt{△L}$
落地點(diǎn)P距O點(diǎn)的距離 S=L₂-△L+x=L₂-△L+0.8$\sqrt{△L}$    
$\sqrt{△L}$的取值范圍為（0，1]，由拋物線圖象或二次函數(shù)極值求解可得  
當(dāng)$\sqrt{△L}$=0.4時(shí)，即△L=0.16m時(shí)，S有最大值為：S_max=1.16m     
當(dāng)$\sqrt{△L}$=1時(shí)，即△L=1m時(shí)，S有最小值為：S_min=0.8m
所以 0.8m≤S≤1.16m
解法二：設(shè)木板右側(cè)截取長(zhǎng)度為△L后，則滑塊離開(kāi)木板后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)平拋的初速度為v₀，由逆向思維，有：
${v}_{0}^{2}$=2μg△L
再做平拋運(yùn)動(dòng)，有：
S=L₂-△L+v₀t=L₂-△L+0.8$\sqrt{△L}$
$\sqrt{△L}$的取值范圍為（0，1]，由拋物線圖象或二次函數(shù)極值求解可得      
當(dāng)$\sqrt{△L}$=0.4時(shí)，即△L=0.16m時(shí)，S有最大值為：S_max=1.16m
當(dāng)$\sqrt{△L}$=1時(shí)，即△L=1m時(shí)，S有最小值為：S_min=0.8m 
解得：0.8m≤S≤1.16m
答：（1）滑塊到達(dá)B點(diǎn)速度v_B的大小是2m/s．
（2）滑塊與木板MN之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ是0.2．
（3）落地點(diǎn)P距O點(diǎn)的距離范圍為0.8m≤S≤1.16m．

點(diǎn)評(píng) 此題前兩問(wèn)是常規(guī)題，是機(jī)械能守恒和動(dòng)能定理綜合．第（3）問(wèn)，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)列式，求解物理極值，是常用的函數(shù)法．