Question

如圖所示，光滑矩形斜面ABCD的傾角為θ=30°，在其上放置一矩形金屬線(xiàn)框abcd，ab的邊長(zhǎng)L₁=1m，bc的邊長(zhǎng)L₂=0.6m，線(xiàn)框的質(zhì)量m=1kg，電阻R=0.1Ω，線(xiàn)框通過(guò)細(xì)線(xiàn)繞過(guò)定滑輪與重物相連，細(xì)線(xiàn)與斜面平行且靠近．重物質(zhì)量M=2kg，離地面的高度為H=4.8m．斜面上efgh區(qū)域是有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直于斜面向上，已知AB到ef的距離為s₁=4.2m，ef到gh的距離為s₂=0.6m，gh到CD的距離為s₃=3.8m，取g=10m/s²．現(xiàn)讓線(xiàn)框從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)（開(kāi)始時(shí)刻cd與AB邊重合），發(fā)現(xiàn)線(xiàn)框勻速穿過(guò)勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，求：

（1）efgh區(qū)域內(nèi)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B
（2）線(xiàn)框在通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱Q
（3）通過(guò)計(jì)算分析畫(huà)出線(xiàn)框從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到ab邊與CD邊重合過(guò)程中線(xiàn)框的v-t圖象．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)受力平衡，結(jié)合安培力的大小，即可求解；
（2）根據(jù)功能關(guān)系列式求熱量；
（3）本題要分過(guò)程求線(xiàn)框的速度，再作出圖象．首先，線(xiàn)框abcd由靜止沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，到ab與ef線(xiàn)重合過(guò)程中，線(xiàn)框和重物以大小相等的加速度做勻加速運(yùn)動(dòng)，采用隔離法，由牛頓第二定律求出兩個(gè)物體的加速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出ab恰好要進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，或根據(jù)動(dòng)能定理列式求ab恰好要進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度．根據(jù)計(jì)算得知線(xiàn)框進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，直到cd邊離開(kāi)gh的瞬間為止，此時(shí)M剛好著地，細(xì)繩松弛，線(xiàn)框繼續(xù)向上做減速運(yùn)動(dòng)，再由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求cd邊離開(kāi)CD的速度，即可作出圖象．

解答：解：（1）ab在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)所受安培力，F(xiàn)=BIL₁=

B2 L 2 1 v0

R

根據(jù)受力平衡，則有：Mg=F+mgsinθ                  
解得：B=0.5T    
（2）由能量守恒：Q=2Mg?S₂-2mg?S₂?sinθ=18J                        
（3）如圖所示，線(xiàn)框abcd由靜止沿斜面向上運(yùn)動(dòng)到ab與ef線(xiàn)重合的過(guò)程中，線(xiàn)框和重物在恒力作用下以共同的加速度做勻加速運(yùn)動(dòng)．
設(shè)ab恰好要進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v₀，對(duì)線(xiàn)框和重物的整體在這一過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理：Mgs₁-mgs₁sinθ=

1

2

（M+m）v

2 0

解得：v₀=

2gs1(M-msinθ) M+m

=

2×10×(4.2-0.6)(2-0.5) 3

=6m/s 
該過(guò)程的時(shí)間為：t₁=

s1

. v1

=

4.2-0.6

6 2

=1.2s
ab邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)由于切割磁感線(xiàn)而產(chǎn)生電流，所以線(xiàn)框受到沿斜面向下的安培力作用：F_A=BIL₁；
故此時(shí)，F(xiàn)_合=Mg-mgsinθ-F_A=20-10×0.5-

0．52×12×6

0.1

=0
故線(xiàn)框進(jìn)入磁場(chǎng)后，做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，直到cd邊離開(kāi)gh的瞬間為止．t₂=

2L2

v0

=

1.2

6

s=0.2s                                         
此時(shí)M剛好著地，細(xì)繩松弛，線(xiàn)框繼續(xù)向上做減速運(yùn)動(dòng)，設(shè)線(xiàn)框的cd邊到達(dá)CD線(xiàn)
的速度為v₁，則對(duì)線(xiàn)框有：-mgs2sinθ=

1

2

mv₁²-

1

2

mv₀²；
得v₁=

v 2 0 -2gs2sinθ

=2m/s
  t₃=

s2

v0+v1 2

=

3.2

6+2 2

s=0.8s 
則線(xiàn)框的速度--時(shí)間圖象如右圖
答：
（1）efgh區(qū)域內(nèi)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度0.5T；
（2）線(xiàn)框在通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱18J；
（3）通過(guò)計(jì)算分析畫(huà)出線(xiàn)框從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到ab邊與CD邊重合過(guò)程中線(xiàn)框的v-t圖象，如上圖所示．

點(diǎn)評(píng)：本題要能根據(jù)線(xiàn)框的受力情況，分析其運(yùn)動(dòng)過(guò)程，再選擇力學(xué)和電磁學(xué)的規(guī)律求解．考查受力平衡條件、能量守恒定律、牛頓第二定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、法拉第定律、歐姆定律、安培力等等眾多知識(shí)，綜合較強(qiáng)．