Question

12．如圖所示，光滑軌道由三段連接而成，AB是與水平面成θ=45°角的斜軌道，BC為水平軌道，CD是固定在豎直平面內(nèi)半徑為R的半圓形圓管，現(xiàn)有一質(zhì)量為m，略比管小的小球以一定的速度從C點沖進(jìn)圓管，達(dá)到D點后做平拋運動；
（1）若小球達(dá)到最高點D時，恰好對內(nèi)外管壁均無作用力，則小球達(dá)到D點的速度大�。�
（2）若小球到達(dá)D點時，對內(nèi)壁壓力大小為$\frac{15}{16}$mg，且恰好落在斜面底端B點，求BC兩點的距離；
（3）調(diào)整小球的速度大小和水平軌道BC的長度為x，使小球達(dá)到D點后作平拋運動，且最后恰好垂直撞到斜軌道AB上，若BC距離x的調(diào)整范圍為（0≤x≤4R），求小球經(jīng)過最高點D時對管壁的作用力的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）小球在最高點對內(nèi)外軌無作用力，故只有重力提供向心力，求的速度；
（2）在最高點由重力和支持力的合力提供向心力，求的平拋時的速度，在豎直方向做自由落體運動，求的下落時間，故可求得水平位移；
（3）設(shè)在D點的速度為v，根據(jù)平拋運動的特點利用位移關(guān)系表示出x，確定出v的取值范圍，由$F=\frac{m{v}^{2}}{R}$求的作用力

解答 解：（1）小球在最高點做圓周運動，重力提供向心力，故mg=$\frac{{mv}_{D}^{2}}{R}$
解得${v}_{D}=\sqrt{gR}$
（2）若小球到達(dá)D點時，對內(nèi)壁壓力大小為$\frac{15}{16}$mg，則$mg-\frac{15}{16}mg=\frac{m{v}^{2}}{R}$，解得v=$\frac{\sqrt{gR}}{4}$
從D點做平拋運動，下落時間為t=$\sqrt{\frac{2•2R}{g}}=\sqrt{\frac{4R}{g}}$
故BC間的距離為x=vt=$\frac{R}{2}$
（3）設(shè)在D點的速度為v，則從D點做平拋運動，恰好垂直撞到斜軌道AB上，故落到AB上在豎直方向的速度也為v
v=gt
t=$\frac{v}{g}$
水平位移X=vt=$\frac{{v}^{2}}{g}$
豎直位移為y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}=\frac{{v}^{2}}{2g}$
有幾何關(guān)系可得x=X-（2R-y）
聯(lián)立解得$v=\sqrt{\frac{2g（2R+x）}{3}}$，因0≤x≤4R，故$\sqrt{\frac{4gR}{3}}≤v≤\sqrt{4gR}$
根據(jù)${F}_{N}-mg=\frac{m{v}^{2}}{R}$
得$\frac{7mg}{3}≤{F}_{N}≤5mg$
答：（1）小球達(dá)到D點的速度大小為$\sqrt{gR}$
（2）BC兩點的距離為$\frac{R}{2}$
（3）小球經(jīng)過最高點D時對管壁的作用力的取值范圍為$\frac{7mg}{3}≤{F}_{N}≤5mg$

點評 本題主要考查了平拋運動，在豎直方向做自由落體運動，在水平方向勻速運動，利用好幾何關(guān)系即可