Question

（1）開普勒從1609年～1619年發(fā)表了著名的開普勒行星運(yùn)動三定律，其中第一定律為：所有的行星分別在大小不同的橢圓軌道上圍繞太陽運(yùn)動，太陽在這個(gè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。第三定律：所有行星的橢圓軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的平方的比值都相等.實(shí)踐證明，開普勒三定律也適用于其他中心天體的衛(wèi)星運(yùn)動。

（２）從地球表面向火星發(fā)射火星探測器.設(shè)地球和火星都在同一平面上繞太陽做圓周運(yùn)動，火星軌道半徑R_m為地球軌道半徑R_０的1.5倍，簡單而又比較節(jié)省能量的發(fā)射過程可分為兩步進(jìn)行：第一步，在地球表面用火箭對探測器進(jìn)行加速，使之獲得足夠動能，從而脫離地球引力作用成為一個(gè)沿地球軌道運(yùn)動的人造行星。第二步是在適當(dāng)時(shí)刻點(diǎn)燃與探測器連在一起的火箭發(fā)動機(jī)，在短時(shí)間內(nèi)對探測器沿原方向加速，使其速度數(shù)值增加到適當(dāng)值，從而使得探測器沿著一個(gè)與地球軌道及火星軌道分別在長軸兩端相切的半個(gè)橢圓軌道正好射到火星上.當(dāng)探測器脫離地球并沿地球公轉(zhuǎn)軌道穩(wěn)定運(yùn)行后，在某年3月1日零時(shí)測得探測器與火星之間的角距離為60°，如圖所示，問應(yīng)在何年何月何日點(diǎn)燃探測器上的火箭發(fā)動機(jī)方能使探測器恰好落在火星表面?(時(shí)間計(jì)算僅需精確到日)，已知地球半徑為：；；

Answer 1

4月7日

 
(題中信息：“從地面向火星發(fā)射火星探測器的兩個(gè)步驟……”，表明：為使探測器落到火星上，必須選擇適當(dāng)時(shí)機(jī)點(diǎn)燃探測器上的發(fā)動機(jī)，使探測器沿橢圓軌道到達(dá)火星軌道的相切點(diǎn)，同時(shí)，火星也恰好運(yùn)行到該點(diǎn)，為此必須首先確定點(diǎn)燃時(shí)刻兩者的相對位置)因探測器在地球公轉(zhuǎn)軌道運(yùn)行周期與地球公轉(zhuǎn)周期相等：探測器在點(diǎn)火前繞太陽轉(zhuǎn)動角速度
ω_ｄ＝ω_ｅ＝＝
由(題中信息)開普勒第三定律得：探測器在橢圓軌道上運(yùn)行周期：T^′_ｄ＝Ｔ_ｅ＝365×1.400天＝510天
因此，探測器從點(diǎn)火到到達(dá)火星所需時(shí)間：
t＝＝
火星公轉(zhuǎn)周期：
T_m＝Ｔ_ｅ＝
火星繞太陽轉(zhuǎn)動的角速度：
由于探測器運(yùn)行至火星需255天，在此期間火星繞太陽運(yùn)行的角度：
即：探測器在橢圓軌道近日點(diǎn)點(diǎn)火時(shí)，火星在遠(yuǎn)日點(diǎn)的切點(diǎn)之前137°.
亦即，點(diǎn)燃火箭發(fā)動機(jī)時(shí)，探測器與火星角距離應(yīng)為
（如圖)
已知某年3月1日零時(shí)，探測器與火星角距離為60°（火星在前，探測器在后)為使其角距離變?yōu)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140825/20140825004503467592.png" style="vertical-align:middle;" />，必須等待時(shí)間
則：
所以：
故點(diǎn)燃發(fā)動機(jī)時(shí)刻應(yīng)為當(dāng)年3月1日后38天，即4月7日.