Question

如圖7-7-16所示，光滑圓管軌道ABC，其中AB部分平直，BC部分是處于豎直平面的、半徑為R的半圓.圓管截面的半徑r＜＜R.有一質(zhì)量為m、半徑比r略小的光滑小球以水平初速度v₀從A點(diǎn)射入圓管.問(wèn)：

圖7-7-16

(1)若要小球能從C端出來(lái)，初速度v₀需多大？

(2)在小球從C端出來(lái)的瞬間，對(duì)管壁作用力有哪幾種典型情況？初速度v₀各應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

解析：小球在細(xì)圓管內(nèi)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，因管道光滑，不受摩擦力作用，所受軌道的彈力與運(yùn)動(dòng)方向垂直，不做功，只有重力做功，故機(jī)械能守恒.

(1)要使小球能從C端出來(lái)，則小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度v_c應(yīng)不為零.對(duì)小球從A至C運(yùn)動(dòng)過(guò)程應(yīng)用機(jī)械能守恒定律得

    mv_c²+mg·2R=mv₀²            ①

    因v_C≠0，有mg·2R＜mv₀²

    故初速度須滿足v₀＞        ②

(2)小球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)受重力mg和細(xì)圓管的彈力F_N，根據(jù)牛頓第二定律得

    F_N+mg=                   ③

    由①③式得F_N=-5mg        ④

    討論④式可得：

    a.若F_N=0，則v₀=,這時(shí)小球與細(xì)管無(wú)相互作用力；

    b.若F_N＞0,則v₀＞，即當(dāng)初速度v₀＞時(shí)，小球受細(xì)管上側(cè)壁的豎直向下的彈力(壓力)，由牛頓第三定律知，小球?qū)��?xì)管上側(cè)壁有豎直向上的彈力；

    c.F_N＜0(即小球要受到下側(cè)壁豎直向上的支持力)，則結(jié)合②式需滿足＜v₀＜，這時(shí)小球?qū)ο聜?cè)壁有豎直向下的壓力.

答案：(1)v₀＞

(2)當(dāng)v₀=時(shí)，小球與細(xì)管無(wú)相互作用力;

    當(dāng)v₀＞時(shí),小球?qū)��?xì)管上側(cè)壁有豎直向上的彈力;

    當(dāng)＜v₀＜時(shí)，小球?qū)ο聜?cè)壁有豎直向下的壓力