Question

7．如圖為某游樂場的“彈球擊物”游戲裝置的示意圖．質(zhì)量為m的小球經(jīng)左側(cè)的彈射系統(tǒng)作用后進入內(nèi)徑比小球直徑稍大的組合管道AOBC，A端固定在地面上，BC段水平且用一可以上下移動的硬桿固定，調(diào)節(jié)BC段的高度h，可以使小球擊中裝置前方某處的物體．管道O、B關(guān)節(jié)處用特殊結(jié)構(gòu)連接，使硬桿在上下移動過程中管道連接處能自如地改變角度，并且小球在經(jīng)過連接處時機械能損失忽略不計．已知A端與C之間的水平距離d=4m，控制左側(cè)的彈射系統(tǒng)使小球每次從A端進入管道時的速度都是v₀=10m/s，BC段能夠調(diào)節(jié)的高度范圍為2m≤h≤3.5m，g取10m/s²．

（1）若管道處處光滑，BC段下調(diào)到最低高度，求小球離開管口C后水平射程．
（2）若小球與管道之間的動摩擦因數(shù)為μ=0.5，求小球離開管口C后的水平射程范圍．

Answer 1

分析 （1）對物體A到C過程根據(jù)動能定理求C點的速度，然后C飛出后做平拋運動，根據(jù)平拋運動規(guī)律列方程求解；
（2）重新根據(jù)動能定理列方程表示出C點的速度，然后根據(jù)平拋運動規(guī)律表示出水平射程，結(jié)合數(shù)學知識求極值．

解答 解：（1）由A到C過程：-mgh=$\frac{1}{2}$mv_c²-$\frac{1}{2}$mv₀² 
拋出后：h=$\frac{1}{2}$gt² 
水平射程：x=v_ct=2$\sqrt{6}$m
（2）設(shè)當BC的高度調(diào)為h₁ 時，水平射程為x₁，則：
-mgh₁-μmgd=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₀²    …①
h₁=$\frac{1}{2}$gt₁²  …②x₁=v₁t₁   …③
由①、②、③式得：x₁=$\sqrt{-4{{h}_{1}}^{2}+（\frac{2{{v}_{0}}^{2}}{g}-4μd）{h}_{1}}$
令y=-4h₁²+（$\frac{2{{v}_{0}}^{2}}{g}$-4μd）h₁…④
則當h₁=1.5m，y有極大值，即x₁有極大值；
但h的最小值為2m，所以h=2m時，射程最大，最大射程x_m=2$\sqrt{2}$m
設(shè)小球到達C時速度為0時，BC的高度為h₂
-mgh₂-μmgd=0-$\frac{1}{2}$mv₀² 
h₂=3m
即：h₂=3m時，v_c=0   水平射程為0            
所以，小球離開管口C后的水平射程范圍為：
0≤x≤2$\sqrt{2}$m
答：（1）若管道處處光滑，BC段下調(diào)到最低高度，小球離開管口C后水平射程為2$\sqrt{6}$m．
（2）若小球與管道之間的動摩擦因數(shù)為μ=0.5，小球離開管口C后的水平射程范圍為0≤x≤2$\sqrt{2}$m．

點評 本題的是多過程問題，關(guān)鍵是分析清楚小球的運動規(guī)律，多次根據(jù)動能定理、平拋運動規(guī)律，并要樹立數(shù)學方法解決物理問題的思想．