Question

【題目】利用電磁場可以對帶電粒子的運動進行有效的控制，使得粒子按照預(yù)定的軌跡進行，如同作畫一般。如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，有一質(zhì)量為m，電荷量為+q的粒子從原點O沿y軸正方向以初速度v0射出，現(xiàn)要求該粒子能通過點P（a，-b），可通過在粒子運動的空間范圍內(nèi)加適當(dāng)?shù)?/span>“場”來實現(xiàn)。粒子重力忽略不計。

(1)若只在x軸上某點固定一帶負(fù)電的點電荷，使粒子在該點電荷產(chǎn)生的電場中作勻速圓周運動，并最終能到達P點，已知靜電力常量為k，求點電荷的電量大小Q。

(2)若只在第Ⅰ、Ⅱ象限內(nèi)加垂直紙面向外的勻強磁場，并在第Ⅳ象限內(nèi)加沿x軸正方向的勻強電場，也能使粒子最終運動到達P點。如果此過程中粒子在電、磁場中運動的時間相等，求磁感應(yīng)強度的大小B和電場強度的大小E。

(3)若在第Ⅰ、Ⅱ象限內(nèi)加垂直紙面的勻強磁場，并在第Ⅲ、Ⅳ象限內(nèi)加平行于x軸方向的勻強電場，也能使粒子最終運動到達P點。試討論磁感應(yīng)強度B的大小、方向與電場強度E的大小、方向之間的聯(lián)系，寫出B的方向和取值范圍，以及與之對應(yīng)的E的方向和E的表達式。

Answer 1

【答案】(1) (2)， (3) ①B向內(nèi)，E沿x軸正方向；此時 ②B向外，，E沿x軸正方向；此時 ③B向外，，E沿x軸負(fù)方向；此時

【解析】試題分析：（1）根據(jù)粒子做勻速圓周運動，由幾何關(guān)系求得半徑，即可根據(jù)庫侖力做向心力求得點電荷電量；（2）根據(jù)粒子在磁場中只受洛倫茲力作用得到粒子做勻速圓周運動，即可得到粒子轉(zhuǎn)過的中心角及周期，從而得到運動時間；再根據(jù)粒子在電場中只受電場力作用，做勻變速運動，得到粒子運動位移和時間，然后根據(jù)總位移和兩階段運動時間相等求解；（3）根據(jù)粒子在磁場中做勻速圓周運動得到粒子離開磁場時的位置坐標(biāo)及速度方向；再根據(jù)粒子在電場中做勻變速運動，根據(jù)粒子經(jīng)過P點，由運動位移求解。

（1）帶電粒子在點電荷的電場中做勻速圓周運動，根據(jù)粒子只受庫侖力作用，庫侖力做向心力可得：點電荷固定在粒子做圓周運動的圓心；由粒子做勻速圓周運動可得：粒子由O到P的軌跡如圖所示

由幾何關(guān)系可知，則粒子做圓周運動的軌道半徑

根據(jù)庫侖力做向心力可得：

解得：

（2）粒子在磁場中只受洛倫茲力作用，故粒子做勻速圓周運動，洛倫茲力做向心力，故有：

根據(jù)粒子做勻速圓周運動可得：粒子離開磁場時在x軸上，速度垂直x軸方向向下；則粒子轉(zhuǎn)過的中心角為；故粒子離開磁場時的坐標(biāo)為（，0），粒子在磁場中運動的時間

粒子在電場中只受水平向右的電場力作用，故粒子做加速度的類平拋運動；粒子由O到P的軌跡如圖所示

故根據(jù)類平拋運動規(guī)律可得：，

由，解得：磁感應(yīng)強度的大小

所以，粒子在磁場中的軌道半徑，

故電場強度

（3）粒子在磁場中只受洛倫茲力作用，故粒子做勻速圓周運動，那么，粒子離開磁場進入電場時的速度方向向下，大小為；設(shè)粒子在磁場中的軌道半徑為r，那么，根據(jù)洛倫茲力做向心力可得：，所以

若磁場方向垂直紙面向里，則粒子離開磁場時的坐標(biāo)為（-2r，0）；若磁場方向垂直紙面向外，則粒子離開磁場時的坐標(biāo)為（0，2r）；粒子在電場中只受水平方向的電場力作用，故粒子做類平拋運動，運動時間。

①當(dāng)磁場方向垂直紙面向里，粒子離開磁場時的坐標(biāo)為（-2r，0）時，電場方沿x軸正方向，且有

所以電場強度

②當(dāng)磁場方向垂直紙面向外，粒子離開磁場時的坐標(biāo)為（0，2r），且2r＜a時，，電場方向沿x軸正方向，且有

所以電場強度

③當(dāng)磁場方向垂直紙面向外，粒子離開磁場時的坐標(biāo)為（0，2r），且2r＞a時，，電場方向沿x軸負(fù)方向，且有

所以電場強度