Question

如圖所示，MN為3m寬的小溝，M點(diǎn)左側(cè)1m處有一5m高的平臺(tái)與半徑為1.25m的

1

4

圓弧底部相切，平臺(tái)表面與圓軌道都光滑，一質(zhì)量為3kg的B球靜止在平臺(tái)上．現(xiàn)讓一小球A從圓弧左側(cè)與圓心等高處?kù)o止釋放，A球下滑至平臺(tái)并與B球發(fā)生碰撞．A、B兩球可視為質(zhì)點(diǎn)，g=10m/s²．求：
（1）A球到達(dá)圓弧底端時(shí)的速度；
（2）如果碰后兩球分別落在M與N點(diǎn)，則A球的可能質(zhì)量．

Answer 1

分析：（1）小球A從光滑圓弧上滾下來(lái)，只有重力做功，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式求解；
（2）小球A與B碰撞過(guò)程中系統(tǒng)動(dòng)量守恒，碰撞后A、B兩球的速度大小都可以通過(guò)平拋運(yùn)動(dòng)的位移公式求解出，然后分A球向左和向右兩種情況分析討論，其中A球向左又分為A球落在M與落在N兩種情況討論．

解答：解：（1）根據(jù)機(jī)械能守恒 mgR=

1

2

mv2
代入數(shù)據(jù)得   v=5m/s                        
即A球到達(dá)圓弧底端時(shí)的速度為5m/s；
（2）①若碰后兩球都向右運(yùn)動(dòng)，據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)h=

1

2

gt2，得t=1s           
由x=v₀t，得v_A1=1m/s，v_B1=4m/s       
由動(dòng)量守恒    m_Av_A=m_Av_A1+m_Bv_B1
得    m_A=3kg                               
碰前總動(dòng)能EK1=

1

2

×3×52
碰后總動(dòng)能EK1′ =

1

2

×3×12+

1

2

×3×42
因?yàn)镋_K1＞E_K1′其解成立 
②若碰后A球向左運(yùn)動(dòng)，B球向右運(yùn)動(dòng)，則可能有：
v_A2=-1m/s         v_B2=4m/s
由動(dòng)量守恒    m_Av_A=m_Av_A2+m_Bv_B2
得    m_A=2kg                                  
碰前總動(dòng)能EK2=

1

2

×2×52
碰后總動(dòng)能EK2′ =

1

2

×2×(-1)2+

1

2

×3×42
因?yàn)镋_K2=E_K2′其解成立                     
③若碰后A球向左運(yùn)動(dòng)，B球向右運(yùn)動(dòng)，則可能有：
v_A2=-4m/s         v_B2=1m/s
由動(dòng)量守恒    m_Av_A=m_Av_A3+m_Bv_B3
得    m_A=

1

3

kg                                  
碰前總動(dòng)能EK3=

1

2

×

1

3

×52
碰后總動(dòng)能EK3′ =

1

2

×

1

3

×(-4)2+

1

2

×3×12
因?yàn)镋_K3=E_K3′其解成立 
故A球的質(zhì)量可能為3Kg、2kg或

1

3

Kg．

點(diǎn)評(píng)：本題要根據(jù)機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量守恒定律和平拋運(yùn)動(dòng)的相關(guān)公式列式分析；其中A、B兩球碰撞后落地點(diǎn)要分為三種情況來(lái)分析討論，特別容易漏掉第三種情況．