Question

地球A和某一行星B的半徑之比為R₁：R₂=1：2，平均密度之比為ρ₁：ρ₂=4：1若地球表面的重力加速度為10m/s²，則：
①B行星表面的重力加速度是多少？
②若在地球表面以某一初速度豎直上拋的物體最高可達(dá)20m，那么在B行星表面以同樣的初速度豎直上拋一物體，經(jīng)多少時間該物體可落回原地？（空氣阻力不計(jì)）

Answer 1

分析：根據(jù)重力近似等于萬有引力，可計(jì)算星球的質(zhì)量，根據(jù)質(zhì)量等于密度乘以體積，可以計(jì)算出星球的表面重力加速度與密度和星球半徑的關(guān)系，再利用比值法可計(jì)算出星球B的重力加速度．
根據(jù)勻變速運(yùn)動的公式，先計(jì)算出在B星球上升到最大高度所用的時間，再根據(jù)對稱性，求總時間．

解答：解：（1）根據(jù)星球表面的物體受到的重力等于萬有引力G

Mm

R2

=mg，得M=

R2g

G

又因?yàn)镸=ρ?

4

3

πR3，所以

R2g

G

=ρ?

4

3

πR3
所以g=

4

3

πGρR
所以

gA

gB

=

ρ1

ρ2

?

R1

R2

=

4

1

×

1

2

=2
故gB=

1

2

gA=

1

2

×10m/s2=5m/s2
（2）根據(jù)勻變速運(yùn)動的規(guī)律v02=2gAhA=(gBtB)2
所以在B行星表面以同樣的初速度豎直上拋一物體上升到最高點(diǎn)用時tB=

2gAhA

gB

=

2×10×20

5

s=4s
根據(jù)運(yùn)動的對稱性該物體從拋出到落回原地的總時間t=2t_B=2×4s=8s．
答：①B行星表面的重力加速度是5m/s²．
②若在地球表面以某一初速度豎直上拋的物體最高可達(dá)20m，那么在B行星表面以同樣的初速度豎直上拋一物體，經(jīng)8s該物體可落回原地．

點(diǎn)評：本題根據(jù)重力等于萬有引力推導(dǎo)出的表達(dá)式GM=R²g，常常稱為黃金代換式，是衛(wèi)星問題經(jīng)常用到的表達(dá)式．