Answer 1

第24屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽試卷

班級(jí):_____  姓名_________  學(xué)號(hào)_____  分?jǐn)?shù)______

一、填空題(共1,每題   分)

1)(25分)填空題

    1．2006年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)授予美國(guó)科學(xué)家約翰·馬瑟和喬治．斯穆特，以表彰他們發(fā)現(xiàn)了宇宙微波背景輻射的黑體輻射形式和各向異性．這一發(fā)現(xiàn)為有關(guān)寧宙起源的                      理論提供了進(jìn)步的支持，使宇宙學(xué)進(jìn)入了“精確研究”時(shí)代．

    2．恒星演化到了后期，某些恒星在其內(nèi)部核燃料耗盡時(shí)，會(huì)發(fā)生強(qiáng)烈的爆發(fā)，在短短的幾天中亮度陡增千萬(wàn)倍乃至上億倍.我國(guó)《宋史》第五十六卷中對(duì)當(dāng)時(shí)觀測(cè)到的上述現(xiàn)象作了詳細(xì)記載．2006年5月是我國(guó)發(fā)現(xiàn)此現(xiàn)象一千周年，為此在杭州召開(kāi)了有關(guān)的國(guó)際學(xué)術(shù)研討會(huì)．天文學(xué)上把演化到這一階段的恒星稱為                               ，恒星演變到這一階段，預(yù)示著一顆恒星的終結(jié)．此后，它可能成為                  或                     .

3.2006年ll月21日，中國(guó)、歐盟、美國(guó)、日本、韓國(guó)、俄羅斯和印度七方在法國(guó)總統(tǒng)府正式簽署一個(gè)能源方面的聯(lián)合實(shí)施協(xié)定及相關(guān)文件，該協(xié)定中的能源是指                         能源．

4．潮汐是一種常見(jiàn)的自然現(xiàn)象，發(fā)生在杭州灣錢(qián)塘江入�？诘摹板X(qián)江潮”是聞名世界的潮汐現(xiàn)象．在農(nóng)歷初一和十五前后各有一次大潮，在兩次大潮之間又各有一次小潮．

試把每月中出現(xiàn)兩次大潮時(shí)地球、月球和太陽(yáng)的相對(duì)位置示意圖定性地畫(huà)在下面．

試把每月中出現(xiàn)兩次小潮時(shí)地球、月球和太陽(yáng)的相對(duì)位置示意圖定性地畫(huà)在下面．

    5．如圖所示，用雙線密繞在一個(gè)長(zhǎng)直圓柱上，形成兩個(gè)螺線管線圈aa和bb(分別以實(shí)線和虛線表示)，已知兩個(gè)線圈的自感都是L.今若把a(bǔ)與b兩端相連，把a(bǔ)和b兩端接人電路，這時(shí)兩個(gè)線圈的總自感等于             ；若把b與a相連，把a(bǔ)和b兩端接入電路，這時(shí)兩個(gè)線圈的總自感等

于              ；若把a(bǔ)與b兩端相連作為一端，a與b相連作為另一端，把這兩端接入電路，這時(shí)

兩個(gè)線圈的總自感等于                        ．

二、計(jì)算題(共7,每題   分)

1)(25分)如圖所示，絕熱的活塞s把一定質(zhì)量的稀薄氣體(可視為理想氣體)密封在水半放置的絕熱氣缸內(nèi)．活塞可在氣缸內(nèi)無(wú)摩擦地滑動(dòng)．氣缸左端的電熱絲可通弱電流對(duì)氣缸內(nèi)氣體十分緩慢地力熱．氣缸處在大氣中，大氣壓強(qiáng)為P．初始時(shí)，氣體的體積為V、壓強(qiáng)為Po

    已知l摩爾該氣體溫度升高1K時(shí)其內(nèi)能的增量為一已知恒量c．求以下兩種過(guò)程中電熱絲傳給氣體的熱量Q與Q之比．

    1．從初始狀態(tài)出發(fā)，保持活塞s位置固定，在電熱絲中通以弱電流，并持續(xù)一段時(shí)間，然后停止通電，待氣體達(dá)到熱平衡時(shí)，測(cè)得氣體的壓強(qiáng)為P

    2仍從初始狀態(tài)出發(fā)，讓活塞處在自由狀態(tài)，在電熱絲中通以弱電流，也持續(xù)一段時(shí)間，然后停止通電，最后測(cè)得氣體的體積為V．

2)(25分)如圖所示，MM和M都是由無(wú)限多根無(wú)限長(zhǎng)的外表面絕緣的細(xì)直導(dǎo)線緊密排列成的導(dǎo)線排橫截面，兩導(dǎo)線排相交成l20，00為其角平分線．每根細(xì)導(dǎo)線中都通有電流I，兩導(dǎo)線排中電流的方向相反，其中MM中電流的方向垂直紙面向里．導(dǎo)線排中單位長(zhǎng)度上細(xì)導(dǎo)線的根數(shù)為．圖中的矩形abcd是用N型半導(dǎo)體材料做成的長(zhǎng)直半導(dǎo)體片的橫截面，(《)，長(zhǎng)直半導(dǎo)體片與導(dǎo)線排中的細(xì)導(dǎo)線平行，并在片中通有均勻電流，電流方向垂直紙面向外．已知ab邊與00垂直，，該半導(dǎo)體材料內(nèi)載流子密度為n，每個(gè)載流子所帶電荷量的大小為q．求此半導(dǎo)體片的左右兩個(gè)側(cè)面之間的電勢(shì)差．

已知當(dāng)細(xì)的無(wú)限長(zhǎng)的直導(dǎo)線中通有電流I時(shí)，電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)離直導(dǎo)線的距離為r處的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B=k，式中k為已知常量

3)(25分)如圖所示，ACD是由均勻細(xì)導(dǎo)線制成的邊長(zhǎng)為d的等邊三角形線框，它以AD為轉(zhuǎn)軸，在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的恒定的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中以恒定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)(俯視為逆時(shí)針旋轉(zhuǎn))，磁場(chǎng)方向與AD垂直．已知三角形每條邊的電阻都等于R．取圖示線框平面轉(zhuǎn)至與磁場(chǎng)平行的時(shí)刻為t=0．

    1．求任意時(shí)刻t線框中的電流．

  2．規(guī)定A點(diǎn)的電勢(shì)為0，求t=0時(shí)，三角形線框的AC邊上任一點(diǎn)P(到A點(diǎn)的距離用x表示)的電勢(shì)U，并畫(huà)出與U與x關(guān)系的圖線

4)(25分)空間存在垂直于紙面方向的均勻磁場(chǎng)，其方向隨時(shí)間作周期性變化，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化的圖線如圖l所示.規(guī)定B>0時(shí)，磁場(chǎng)的方向穿出紙面.現(xiàn)在磁場(chǎng)區(qū)域中建立一與磁場(chǎng)方向垂直的平面坐標(biāo)0xy，如圖2所示.一電荷量q=5，質(zhì)量m=的帶電粒子，位于原點(diǎn)0處，在t=0時(shí)刻以初速度沿x軸正方向開(kāi)始運(yùn)動(dòng)．不計(jì)重力的作用，不計(jì)磁場(chǎng)的變化可能產(chǎn)生的一切其它影響

    1．試在圖2中畫(huà)出0～20ms時(shí)間內(nèi)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡，并標(biāo)出圖2中縱橫坐標(biāo)的標(biāo)度值(評(píng)分時(shí)只按圖評(píng)分，不要求寫(xiě)出公式或說(shuō)明．)

    2．在磁場(chǎng)變化N個(gè)(N為整數(shù))周期的時(shí)間內(nèi)帶電粒子的平均速度的大小等于             .

5)(25分)如圖所示，L是一焦距為f的薄凸透鏡(F與F為其焦點(diǎn))．在透鏡右側(cè)焦點(diǎn)F處放置一曲率半徑大小為R的球面反射鏡(其頂點(diǎn)位于F處)，透鏡和球面鏡組成一軸對(duì)稱的光學(xué)系統(tǒng)．在透鏡L左側(cè)光軸上有限遠(yuǎn)處有一發(fā)光點(diǎn)P，它發(fā)出的傍軸光線經(jīng)此光學(xué)系統(tǒng)后，恰好成像在P點(diǎn)．試在下面笫1和第2小題中填空，在第3小題中作圖．

    1．若球面鏡為凹面鏡，則P點(diǎn)到透鏡的距離等于              ；若球面鏡為凸面鏡，則P點(diǎn)到透鏡的距離等于              .

    2．若將一短細(xì)桿垂直于光軸放置，桿的下端位于P點(diǎn)，則此細(xì)桿經(jīng)上述光學(xué)系統(tǒng)所成的最后的像的大小與物的大小之比對(duì)凹面鏡等于                       ；對(duì)凸面鏡等于                  .

    3．若球面鏡的半徑大小R=2f，試按作圖法的規(guī)范要求，畫(huà)出第2問(wèn)中短桿對(duì)上述光學(xué)系統(tǒng)逐次成的像及成像光路圖．(要求將凹面鏡和凸面鏡分別畫(huà)在兩張圖上．評(píng)分時(shí)只按圖評(píng)分，不要求寫(xiě)出作圖理由和說(shuō)明，但須用已知量標(biāo)出各個(gè)像在光軸上的具體位置．)

 

6)(25分)如圖所示，有一固定的、半徑為a、內(nèi)壁光滑的半球形碗(碗口處于水平位置)，0為球心．碗內(nèi)擱置一質(zhì)量為m、邊長(zhǎng)為a的等邊三角形均勻薄板ABC．板的頂點(diǎn)以位于碗內(nèi)最低點(diǎn)，碗的最低點(diǎn)處對(duì)A有某種約束使頂點(diǎn)A不能滑動(dòng)(板只能繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng))．

    1．當(dāng)三角形薄板達(dá)到平衡時(shí)，求出碗對(duì)頂點(diǎn)A、B、C的作用力的大小各為多少．

    2當(dāng)板處于上述平衡狀態(tài)時(shí)，若解除對(duì)A點(diǎn)的約束，讓它能在碗的內(nèi)表而上從靜止開(kāi)始自由滑動(dòng)，求此后三角形薄板可能具有的最大動(dòng)能．

7)本卷共八題。滿分200分,沒(méi)有了

標(biāo)準(zhǔn)答案

一、填空題(共1,每題   分)

1)參考答案

1．大爆炸    

2．超新星  中子星  黑洞 

3．核聚變    

4．

 

小潮時(shí)

5．0,4L，L．

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題25分．

第1小題3分．

第2小題6分，每一空格2分．

第3小題3分，

第4小題6分．第一空格中畫(huà)對(duì)一個(gè)圖給2分，畫(huà)對(duì)兩個(gè)圖給3分；第二空格中畫(huà)對(duì)一個(gè)圖給2分，畫(huà)對(duì)二個(gè)圖給3分．

第5小題7分．第一空格2分，第二空格3分，第三空格2分．

二、計(jì)算題(共7,每題   分)

1)參考解答:

    以m表示氣缸內(nèi)氣體的質(zhì)量，表示其摩爾質(zhì)量．當(dāng)氣體處在初始狀態(tài)時(shí)，已知其壓強(qiáng)為P。、體積為V.設(shè)其溫度為T(mén)，由理想氣體狀態(tài)方程有

                                   (1)

    在過(guò)程1中，對(duì)氣體加熱時(shí)，活塞s位置固定不動(dòng)，氣體體積保持不變，氣體對(duì)外不做功．根據(jù)熱力學(xué)第一定律有

                                (2)

式中T為加熱后氣體的溫度．根據(jù)題意，這時(shí)氣體的壓強(qiáng)為P，由理想氣體狀態(tài)方程可知

                                         (3)

由(1)、(2)、(3)式得

                                     (4)

在過(guò)程2中，對(duì)氣體加熱時(shí)，活塞要移動(dòng)，氣體的壓強(qiáng)保持P₀不變，體積由V₀變?yōu)閂₂，氣體對(duì)外做功．根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有

                          (5)

式中T為加熱后氣體的溫度．由理想氣體狀態(tài)方程可知

                                            (6)

由(1)、(5)、(6)式，得

                                     (7)

由(4)、(7)式得

                                   (8)

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題25分．

(1)式2分，(2)式7分，(3)式2分，(5)式7分，(6)式2分，(8)式5分．

2)參考解答

    1．兩導(dǎo)線排的電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)

    考察導(dǎo)線排M₁，M₂中的電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)，取x軸與導(dǎo)線排M₁M₂重合，Y軸與導(dǎo)線排M_lM₂垂直，如圖l所示．位于x和x+△x(x為小量)之間的細(xì)導(dǎo)線可以看作是“一根”通有電流I的長(zhǎng)直導(dǎo)線，它在Y軸上P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為

                                               (1)

r為P點(diǎn)到此直長(zhǎng)導(dǎo)線的距離，B的方向與r垂直，與電流構(gòu)成右手螺旋．將AB分解成沿x方向和Y方向的兩個(gè)分量△B和△B，有

                                         (2)

                                         (3)

根據(jù)對(duì)稱性，位于一x到一(x+Δx)之間的細(xì)導(dǎo)線中電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度在Y方向的分量與△B_y，大小相等、方向相反．可見(jiàn)整個(gè)導(dǎo)線排中所有電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)在Y方向的合磁場(chǎng)為0．由圖1可看出一

                                              (4)

把(4)式代入(2)式得

                                                (5)

導(dǎo)線排上所有電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度

B=                                        (6)

注意到得

B=k                                                     (7)

即每個(gè)導(dǎo)線排中所有電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)是勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的方向分別與M₁M₂和M₃M₄線排平行．如圖2所示，兩導(dǎo)線排中電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度B(M₁M₂)與B(M₃M₄)成120⁰，它們的合磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小

 (8)

方向與00’平行，由0指向0’

2.半導(dǎo)體片左右兩側(cè)面間的電勢(shì)差

當(dāng)半導(dǎo)體片中通有均勻電流I₀時(shí)，半導(dǎo)體片中的載流子作定向運(yùn)動(dòng)，N型半導(dǎo)體的載流子帶負(fù)電荷，故其速度v的方向與I₀方向相反，垂直紙面向里，且有:

I₀=nqvS                                                      (9)

式中S為半導(dǎo)體片橫截面的面積

    S=                                                       (10)

載流子作定向運(yùn)動(dòng)時(shí)要受到磁場(chǎng)洛倫茲力f_B的作用，其大小為

f_B=qvB₀                                                       (11)

對(duì)帶負(fù)電荷的載流子此力的方向指向左側(cè)，于是負(fù)電荷積聚在左側(cè)面上，從而左側(cè)面帶負(fù)電，右側(cè)面帶正電，兩側(cè)面間出現(xiàn)電勢(shì)差U=U_右-U_左．帶負(fù)電荷的載流子受到靜電力f_E由左側(cè)面指向右側(cè)面，達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，f_E與f_B平衡，即

f                                                  (12)

由(8)、(9)、(10)、(II)、(12)各式得

U=k                                                      (13)

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題25分． 

  (7)式8分，(8)式4分，(9)式3分，(t2)式5分，(13)式5分

3)參考解答:

    1.在線框轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，三角形的AC、CD兩邊因切割磁感應(yīng)線而產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，因長(zhǎng)度為d的AC邊和CD邊都不與磁場(chǎng)方向垂直，每條邊切割磁感應(yīng)線的有效長(zhǎng)度，即垂直于磁場(chǎng)方向的長(zhǎng)度為

l=dsin30                         (1)

因AC邊上不同部分到轉(zhuǎn)軸的距離不同，它們的速度隨離開(kāi)轉(zhuǎn)軸的距離的增大而線性增大，故可認(rèn)為AC邊上各部分產(chǎn)生的總電動(dòng)勢(shì)，數(shù)值上等同于整條AC邊均以AC邊中點(diǎn)處的速度運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì).而:

                (2)

設(shè)在t=0至?xí)r刻t,三角形從平行于磁場(chǎng)方向的位置繞軸轉(zhuǎn)過(guò)角度為θ,則

                      θ=ωt                                    (3)

因而邊上各點(diǎn)速度的方向不再與磁場(chǎng)方向垂直,沿垂直磁場(chǎng)方向的分量

                                               (4)

由些得到t時(shí)刻AC邊中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

                                                    (5)

其方向由A指向C，由(1)、(2)、(3)、(4)、(5)各式得

                                        (6)

同理可得

                                        (7)

其方向由C指向D，三角形線框中的總電動(dòng)勢(shì)

                              (8)

其方向沿ACDA回路方向．因線框中的總電阻為3R，故t時(shí)刻線框中的電流

                                   (9)

2.對(duì)于AP來(lái)說(shuō)，長(zhǎng)度為x，在t=0時(shí)刻，cosωt=1，而以x代替(6)式中的d，即可得AP段中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小

                                            (10)

方向由A點(diǎn)指向P點(diǎn)．由(9)式，此時(shí)線框的電流

                                             (11)

根據(jù)含源電路歐姆定律，P點(diǎn)的電勢(shì)

                                           (12)

把(10)、(11)兩式代入(12)式，經(jīng)整理后得

                                    (13)

為了畫(huà)出U_P(x)圖線，先求出若干特征點(diǎn)的電勢(shì)值：(13)式右側(cè)是一個(gè)關(guān)于x的二次方程，故U_P(x)圖線為一拋物線，(13)式可改寫(xiě)為

                          (14)

由(14)式可知,此拋物線

(i)x=0和

       U_P=0

(ii)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

  

(iii)

 圖線如圖所示．

  評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題25分．

  第1小題l3分求得(6)或(7)式8分，(8)式2分，(9)式3分

  第2小題l2分．(10)式4分，(13)式4分，圖線正確給4分

4)參考解答：

    1

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題25分．

1．圖線形狀正確給l0分，橫坐標(biāo)標(biāo)度正確給5分，縱坐標(biāo)標(biāo)度正確給5分

2．求得平均速度大小給5分．

5)參考解答：

1.

2．1；1

3．對(duì)凹面鏡光路圖如圖l所示

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題25分．

  第1小題l0分．每一空格5分．

  第2小題5分．填對(duì)一個(gè)空格給3分，填對(duì)二個(gè)空格給5分

第3小題l0分．每圖5分．

6)參考解答：

解法一

    1.因A點(diǎn)位于半球形碗的最低點(diǎn)，等邊三角形薄板的BC邊一定沿水平方向．作連線OB和OC，因O為半球形碗的球心，A、B、C均在球面上，故有

              (1)

    ABC是等邊三角形，

              (2) 

故OABC為正四面體，如圖l所示．三角形薄板所受的力有：

(i)B、C處碗面對(duì)板的作用力N_B和N_C均垂直于碗面，指向球心O.又由對(duì)稱性可知,

     N_B=N_C                                                  (3)

它們的合力N_BC沿∠COB的角平分線DO的方向，其大小為

         N_BC=2N_Bcos30⁰=                                    (4)

DO的長(zhǎng)度

                                          (5)

(ii)重力F_G的大小

   F_G=mg                                                     (6)

它作用于三角形ABC的重心G.G位于AD上,與A的距離

                                (7)

重力的方向與OA平行,該力位于OAD平面內(nèi),與OD相交.用P表示其交點(diǎn),則

                                             (8)

(iii)設(shè)碗面在A點(diǎn)作用于薄板的約束力為N_A,薄板(或可看成剛性正四面體OABC)在N_BC、F_G和N_A三個(gè)力作用下保持平衡，這三力應(yīng)在同一平面內(nèi)，且應(yīng)共點(diǎn)，即N_A應(yīng)與F_G和N_BC都在OAD平面內(nèi)，且應(yīng)通過(guò)P點(diǎn)，如圖2所示。在三角形ODA中

  

設(shè)∠DOA=α，則

    ∠ODA=π-α

在三角形ADO中，由正弦定理，有：

由此可得

              （9）

設(shè)∠OAP=β，在三角形OPA中，由余弦定理得

由正弦定理得：

即

                                   （10）

F_G、N_BC和N_A三力平衡，它們應(yīng)形成封閉的三角形，如圖3所示。由正弦定理得

                                    （11）

由（10）、（11）式和（3）、（4）、（6）各式得

                                     （12）

                            （13）

得：

N_B=N_C=                     （14）

2．解除對(duì)A點(diǎn)的約束后，A、B、C三頂點(diǎn)將從靜止開(kāi)始沿碗面滑動(dòng)．根據(jù)對(duì)稱性可知，薄板處于水平位置時(shí)重心最低，從而重力勢(shì)能最�。�根據(jù)機(jī)械能守恒定律，此時(shí)薄板的動(dòng)能最大．此時(shí)薄板的重心將移至O點(diǎn)正下方的G’點(diǎn)，如圖4所示．由幾何關(guān)系并考慮到(7)式，G’相對(duì)碗最低點(diǎn)的高度

          (15)

A點(diǎn)被約束時(shí)薄板重心為G點(diǎn)，參閱圖1，可知G點(diǎn)相對(duì)碗最低點(diǎn)的高度

                           (16)

由(7)和(9)式可得

                                                (17)

   由(15)、(17)兩式可求得薄板從A點(diǎn)約束解除到處于水平狀態(tài)過(guò)程中，其重心高度減少量的最大值，從而求出重力勢(shì)能的減少量的最大值，最后即求得薄板具有的最人動(dòng)能為

                          (18)

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題25分．

  第1小題20分(4)式2分，(10)式7分，(11)式7分, (12)式2分，(14)式2分

第2小題5分(15)式1分，(17)式2分，(18)式2分

解法二

  1．當(dāng)三角形薄板處于平衡狀態(tài)時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性，必位于過(guò)B、C兩點(diǎn)的水平圓面內(nèi)，以O(shè)’表示此水平圓面的圓心，如圖l所示．碗內(nèi)壁球面的球心為O，則O’以及A、O三點(diǎn)必位于同一條豎直線上．由于B、C與球面接觸處都是光滑的，球面對(duì)這兩點(diǎn)的作用力都指向球面的球心O，令N_B和N_C分別表示這兩個(gè)力的大�。�由對(duì)稱性可知

    N_B =N_C                                                    (1)

因球面的半徑等于等邊三角形的邊長(zhǎng)，三角形OAB和OBC都是等邊三角形,

∠AOB=∠BOC=θ=60⁰                                                         (2)

把N_B分解成沿豎直方向的分量N_B⊥和位于水平面內(nèi)的分量N_B//，則有

                           （3）

                           (4)

同理有

                            (5)

                           (6)

N_B//與BO’平行,N_C//與CO’平行,都平行于以O(shè)’為圓心的水平圓面,可以把這兩個(gè)力移到圓心為O’的水平圓面內(nèi),如圖2所示.N_B//和N_C//的合力為N_//.

    球而底部作用于三角形薄板的力N_A也可分解成沿豎直方向的分量N_A⊥和位于水科面內(nèi)的分量N_A//.當(dāng)三角形薄板達(dá)到平衡時(shí)，有

N_A//= N_//=2 N_B//cosα　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (7)

mg-N_A⊥- N_B⊥- N_C⊥=0                                           (8)

由圖l可知，圓心為0’的水平圓面的半徑R即線段是等邊三角形OAB的高，故有

                                 (9)

由圖2得

      (10)

由以上有關(guān)各式,(7)、（8）兩式可寫(xiě)成

                        （11）

N_A⊥=mg-N_B                            (12)

當(dāng)三角形薄板達(dá)到平衡時(shí)，作用于三角形的各力對(duì)BC邊的力矩總和等于零。N_B，N_C通過(guò)BC邊，對(duì)BC邊無(wú)力矩作用，只有N_A//、N_A⊥和生力mg對(duì)BC邊有力矩作用。平衡時(shí)有

                           （13）

由（9）、（10）式可知

                               （14）

把（14）式代入（13）式，得

                                       （15）

由（11）、（12）和（15）式及（1）式

                                              （16）

                                                 （17）

                                                   （18）

                                                  （19）

2．當(dāng)解除對(duì)A點(diǎn)的約束，A、B、C三頂點(diǎn)將在球面內(nèi)從靜止開(kāi)始滑動(dòng)。根據(jù)對(duì)稱性可知，必有一時(shí)刻薄板處于水平位置，這時(shí)板的重心最低，重力勢(shì)能最小，薄板具有的動(dòng)能最大，這動(dòng)能來(lái)自薄板減少的重力勢(shì)能。

在圖1中三角形ADO‘為直角三角形，一條直角邊DO’位于水平位置，另一條直角邊AO’ 位于豎起位置，根據(jù)題意及幾何關(guān)系可知，三角形薄板的重心G位于斜邊AD上，離A點(diǎn)的距離為，重心G的高度

                                        (20)

當(dāng)三角形薄板的三條邊位于同一水的圓面內(nèi)時(shí)，三角形的重心G’與其三邊所在圓面的圓心重合，如圖3所示，

這時(shí)，三角形薄板重心G’的高度

               (21)

薄板的最大動(dòng)能

                                    （22）

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題25分．

    第1小題20分．(11)式6分，(12)式6分，(15)式4分，(16)式2分，(19)式2分第2小題5分．(20)式1分，(21)式2分，(22)式2分．

7)本卷共八題。滿分200分,沒(méi)有了