Question

11．如圖所示，足夠長(zhǎng)的斜面傾角α=37°，一質(zhì)量為M、長(zhǎng)L=1m的長(zhǎng)木板A，如果在斜面上將其由靜止釋放，木板將勻加速下滑，加速度大小a=2m/s²．可視為質(zhì)點(diǎn)的物塊B的質(zhì)量m=$\frac{M}{2}$，B、A之間以及A與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同且都為μ，重力加速度取g=10m/s²．如果將木板置于斜面上足夠高處并按住，將物塊B置于木板上端并施加沿斜面向下的恒力F₁=0.2mg，A、B同時(shí)釋放，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）求物塊B滑離長(zhǎng)木板所需的時(shí)間；
（2）如果將物塊B置于木板下端并施加沿斜面向上的恒力F₂=1.2mg，A、B同時(shí)釋放，則B滑離木板用時(shí)為多少？

Answer 1

分析 （1）對(duì)沒(méi)有加外力時(shí)的整體進(jìn)行受力分析，結(jié)合牛頓第二定律即可求出動(dòng)摩擦因數(shù)；分別對(duì)B和A進(jìn)行受力分析，由牛頓第二定律求出它們的加速度的大小和方向，然后由運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式即可求出；
（2）如果將物塊B置于木板下端并施加沿斜面向上的恒力F₂=1.2mg，分別對(duì)B和A進(jìn)行受力分析，由牛頓第二定律求出它們的加速度的大小和方向，然后由運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式即可求出．

解答 解：（1）整體放在斜面上時(shí)，受到重力、支持力和摩擦力的作用，沿斜面方向：
（M+m）a=（M+m）gsinα-μ（M+m）gcosα
代入數(shù)據(jù)得：μ=0.5
對(duì)B施加沿斜面向下的恒力F₁=0.2mg時(shí)，以B為研究對(duì)象，沿斜面向下：
ma₁=F₁+mgsinα-μmgcosα
代入數(shù)據(jù)得：${a}_{1}=4m/{s}^{2}$
B相對(duì)于A向上運(yùn)動(dòng)，所以A受到重力、斜面的支持力、B對(duì)A的壓力、斜面對(duì)A向上的摩擦力以及B對(duì)A向下的摩擦力，所以沿斜面向下的方向：
Ma₂=Mgsinα+μmgcosα-μ（M+m）gcosα
代入數(shù)據(jù)得：a₂=2m/s²．
二者都向下做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，所以：$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}=L$
代入數(shù)據(jù)得：t=1 s
（2）如果將物塊B置于木板下端并施加沿斜面向上的恒力F₂=1.2mg，以B為研究對(duì)象，沿斜面向上：
ma₃=F₂-mgsinα-μmgcosα
代入數(shù)據(jù)得：a₃=2m/s²．
B相對(duì)于A向下運(yùn)動(dòng)，所以A受到重力、斜面的支持力、B對(duì)A的壓力、斜面對(duì)A向上的摩擦力以及B對(duì)A向上的摩擦力，所以沿斜面向下的方向：
由于：Mgsinα＜μmgcosα+μ（M+m）gcosα，所以A不能向下滑動(dòng)．
若斜面對(duì)A的摩擦力的方向向下，則：μmgcosα＜Mgsinα+μ（M+m）gcosα，可知A也不能向上滑動(dòng)；所以A只有靜止在斜面上．
B相對(duì)于A向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由公式得：
L=$\frac{1}{2}{a}_{3}t{′}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：t′=1s
答：（1）物塊B滑離長(zhǎng)木板所需的時(shí)間是1s；
（2）如果將物塊B置于木板下端并施加沿斜面向上的恒力F₂=1.2mg，A、B同時(shí)釋放，則B滑離木板用時(shí)為1s．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了勻加速直線運(yùn)動(dòng)速度位移公式及牛頓第二定律的應(yīng)用，解答的難點(diǎn)是第二問(wèn)，正確判斷出B保持靜止是解答的關(guān)鍵．