Question

20．如圖甲所示，質(zhì)量為M=2kg、長(zhǎng)度為L(zhǎng)₁的長(zhǎng)木板B靜止在光滑水平面上，距木板右側(cè)L₀=0.5m處有一固定光滑半圓軌道，CD為其豎直直徑，半圓軌道在底端C處的切線與木板B的上表面在同一水平面上，水平傳送帶以恒定速率v=$\sqrt{5}$m/s順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，其上表面與半圓軌道在最高點(diǎn)處的切線也在同一水平面上，某時(shí)刻質(zhì)量為m=1kg的小滑塊A（可視為質(zhì)點(diǎn)）以大小為v₀=6m/s的水平速度從木板B的左端滑上木板，之后A、B向右運(yùn)動(dòng)，長(zhǎng)木板B與半圓軌道碰撞瞬間小滑塊A的速度大小為v₁=4m/s，此時(shí)小滑塊A恰好滑上半圓軌道，從A、B開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到A滑上半圓軌道的過(guò)程中A、B的速度-時(shí)間圖象如圖乙所示，已知小滑塊恰好能通過(guò)半圓軌道最高點(diǎn)D，最后滑到傳送帶左端P時(shí)速度剛好減為零，已知小滑塊與水平傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1，取g=10m/s²，求：

（1）B與半圓軌道碰撞瞬間木板B的速度大小和木板B的長(zhǎng)度L₁；
（2）豎直半圓軌道的半徑R；
（3）小滑塊從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到到達(dá)P處的過(guò)程中因摩擦而產(chǎn)生的熱量Q．

Answer 1

分析 （1）A在長(zhǎng)木板B上向右滑動(dòng)的過(guò)程，兩者組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律求B與半圓軌道碰撞瞬間木板B的速度大小．
根據(jù)v-t圖象與坐標(biāo)軸所圍面積表示位移，分別求出A和B的位移，兩者之差等于木板B的長(zhǎng)度L₁；
（2）對(duì)A從C到D的過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理列式，再結(jié)合在D點(diǎn)，重力等于向心力列式，聯(lián)立可求得圓軌道的半徑R．
（3）分析A在傳送帶的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求D到P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即可求得A與傳送帶間的相對(duì)位移的大小，從而求得熱量Q．

解答 解：（1）A在長(zhǎng)木板B上向右滑動(dòng)的過(guò)程，兩者組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
  mv₀=mv₁+Mv₂；
可得，B與半圓軌道碰撞瞬間木板B的速度大小 v₂=1m/s
根據(jù)v-t圖象與坐標(biāo)軸所圍面積表示位移，則得，A和B的位移分別為：
x_A=$\frac{{v}_{0}+{v}_{1}}{2}$t=$\frac{6+4}{2}×1$m=5m
x_B=$\frac{{v}_{2}}{2}$t=$\frac{1}{2}×1$m=0.5m
所以，木板B的長(zhǎng)度為：L₁=x_A-x_B=4.5m
（2）對(duì)A從C到P的過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理得：
-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
在D點(diǎn)，有 mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得，圓軌道的半徑 R=0.32m，v_D=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$m/s
（3）A在傳送帶向左做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為 a=$\frac{μmg}{m}$=μg=1m/s²
從D到P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t=$\frac{0-{v}_{D}}{-a}$=v_D=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$s
A與傳送帶間的相對(duì)位移的大小△x=vt+$\frac{{v}_{D}^{2}}{2a}$=5.6m
則熱量 Q=μmg△x=0.1×1×10×5.6J=5.6J
答：（1）B與半圓軌道碰撞瞬間木板B的速度大小和木板B的長(zhǎng)度L₁是4.5m．
（2）豎直半圓軌道的半徑R是0.32m．
（3）小滑塊從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到到達(dá)P處的過(guò)程中因摩擦而產(chǎn)生的熱量Q是5.6J．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是分析清楚滑塊A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，抓住每個(gè)過(guò)程和各個(gè)狀態(tài)的特點(diǎn)和物理規(guī)律，分段由動(dòng)量守恒定律、動(dòng)能定理、牛頓運(yùn)動(dòng)定律和向心力公式進(jìn)行研究．