Question

7．如圖所示，MN、PQ為間距L=0.5m足夠長的平行導軌，NQ⊥MN．導軌平面與水平面間的夾角θ=37°，NQ間連接一個R=4Ω的電阻．有一方向垂直導軌平面向上的勻強磁場，磁感應強度B=1T．將一根質量m=0.05kg的金屬棒ab緊靠NQ放置在導軌上，且與導軌接觸良好，金屬棒的電阻r=1Ω，導軌電阻不計．現由靜止開始釋放金屬棒，金屬棒沿導軌向下運動過程中始終與NQ平行．已知金屬棒與導軌間的動摩擦因數μ=0.5，經5s金屬棒滑行至cd處時剛好達到穩(wěn)定速度，cd 與NQ相距s=8m．重力加速度g取10m/s²．求：
（1）金屬棒達到的穩(wěn)定速度是多大？
（2）金屬棒ab從靜止釋放到滑行至cd處的過程中，電阻R上產生的焦耳熱和通過電阻R的總電荷量各是多少？
（3）若單獨給電阻R兩端加上u=U_msin40πt（V）的正弦交流電壓，電阻R經14s產生的熱量與第（2）問中電阻R產生的焦耳熱相等．請寫出此正弦交流電壓的瞬時表達式．

Answer 1

分析 （1）當金屬棒速度穩(wěn)定時，受到的重力、支持力、安培力與滑動摩擦力達到平衡．由法拉第電磁感應定律、閉合電路毆姆定律，可以列出安培力與速度的關系公式，再由列出平衡方程可求出穩(wěn)定時的速度．
（2）金屬棒的重力勢能轉化為動能和摩擦產生的內能以及電阻R上產生的焦耳熱，由能量轉化及守恒求解電阻R上產生的焦耳熱．由法拉第電磁感應定律、歐姆定律和電量公式推導出電量表達式q=$\frac{△Φ}{R+r}$，代入求解總電荷量．
（3）根據焦耳定律和有效值與最大值的關系，求解U_m，即可得到正弦交流電壓的瞬時表達式．

解答 解：（1）金屬棒穩(wěn)定時做勻速直線運動，設金屬棒達到穩(wěn)定時的速度v_m，回路中的電流為I，切割磁感應線產生的電動勢為E，
 E=BLv_m
由閉合電路毆姆定律得：I=$\frac{E}{R+r}$
由受力平衡可得：BIL+μmgcosθ=mgsinθ
聯立得：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R+r}$+μmgcosθ=mgsinθ
由以上各式可得：v_m=$\frac{mg（sinθ-μcosθ）（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{0.05×10×（sIn37°-0.5×cos37°）×（4+1）}{{1}^{2}×0．{5}^{2}}$=2m/s
（2）由能量轉化及守恒可得：mgssinθ=Q+μmgcosθ•s+$\frac{1}{2}$mv_m²
可得：Q=mgssinθ-μmgcosθ•s-$\frac{1}{2}$mv_m²=0.05×10×8×sin37°-0.5×0.05×10×cos37°×8-$\frac{1}{2}$×0.05×2²=0.7J
則電阻R上產生的焦耳熱為：Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q=$\frac{4}{5}$Q=0.56J
此過程中流過電阻R的電荷量為：q=$\overline{I}$△t  
又 $\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R+r}$，$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$
可得：q=$\frac{△Φ}{R+r}$=$\frac{BLs}{R+r}$=$\frac{1×0.5×8}{4+1}$C=0.8C
（3）正弦交流電壓u=U_msin40πt（V）的有效值為：U=$\frac{\sqrt{2}}{2}$U_m；
據題得：Q_R=$\frac{{U}^{2}}{R}$t
則得：U=0.4V，U_m=$\frac{2}{5}\sqrt{2}$V
故正弦交流電壓的瞬時表達式為：u=$\frac{2}{5}\sqrt{2}$sin40πt（V）．
答：（1）金屬棒達到的穩(wěn)定速度是2m/s．
（2）金屬棒ab從靜止釋放到滑行至cd處的過程中，電阻R上產生的焦耳熱和通過電阻R的總電荷量各是0.56J和0.8C．
（3）正弦交流電壓的瞬時表達式為u=$\frac{2}{5}\sqrt{2}$sin40πt（V）．

點評 本題要明確金屬棒穩(wěn)定時做勻速直線運動，能熟練推導出安培力表達式和感應電荷量表達式是關鍵．要注意對于交變電流，求解熱量時要用有效值，不能用最大值．