Question

7．若取地球的第一宇宙速度為8km/s，地球表面重力加速度為10m/s²．已知某行星的質(zhì)量是地球質(zhì)量的6倍，半徑是地球的1.5倍，求：
（1）這個行星的表面重力加速度
（2）這個行星的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 由重力加速度的表達(dá)式及行星與地球的質(zhì)量之比，半徑之比，即可求得重力加速度．由第一宇宙速度表達(dá)式及行星與地球的質(zhì)量之比、半徑之比求得第一宇宙速度．

解答 解：第一宇宙速度是近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，
由牛頓第二定律得：G$\frac{mM}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$；
某行星上的第一宇宙速度與地球上的第一宇宙速度之比：$\frac{{v}_{行}}{{v}_{地}}$=$\sqrt{\frac{{M}_{行}{R}_{地}}{{M}_{地}{R}_{行}}}$=$\sqrt{\frac{6{M}_{地}}{{M}_{地}}×\frac{{R}_{地}}{1.5{R}_{地}}}$=2，
所以這行星的第一宇宙速度：v_行=2v_地=2×8=16km/s．
在表面由重力等于萬有引力，即：mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$，解得：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，
星球表面的重力加速度與地球表面的重力加速度之比：$\frac{{g}_{行}}{{g}_{地}}$=$\frac{\frac{{M}_{行}}{{R}_{行}^{2}}}{\frac{{M}_{地}}{{R}_{地}^{2}}}$=$\frac{6}{1．{5}^{2}}$=$\frac{8}{3}$，
行星的重力加速度：g_行=$\frac{8}{3}$g_地=$\frac{8}{3}$×10=$\frac{80}{3}$m/s²；
答：（1）這個行星的表面重力加速度$\frac{80}{3}$m/s²；
（2）這個行星的第一宇宙速度16km/s．

點評 本題關(guān)鍵是根據(jù)第一宇宙速度的表達(dá)式列式求解，其中第一宇宙速度為貼近星球表面飛行的衛(wèi)星的環(huán)繞速度！
求一個物理量之比，我們應(yīng)該把這個物理量先用已知的物理量表示出來，再根據(jù)表達(dá)式進(jìn)行比較．