Question

如圖所示（俯視），MN和PQ是兩根固定在同一水平面上的足夠長(zhǎng)且電阻不計(jì)的平行金屬導(dǎo)軌．兩導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)=0.2m，其間有一個(gè)方向垂直水平面豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁=5.0T。導(dǎo)軌上NQ之間接一電阻R₁=0.40，阻值為R₂=0.10的金屬桿垂直導(dǎo)軌放置并與導(dǎo)軌始終保持良好接觸。兩導(dǎo)軌右端通過金屬導(dǎo)線分別與電容器C的兩極相連。電容器C緊靠著帶小孔a（只能容一個(gè)粒子通過）的固定絕緣彈性圓筒。圓筒內(nèi)壁光滑，筒內(nèi)有垂直水平面豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₂，O是圓筒的圓心，圓筒的內(nèi)半徑為r=0.40m。

（1）用一個(gè)大小恒為10N，平行于MN水平向左的外力F拉金屬桿，使桿從靜止開始向左運(yùn)動(dòng)求：當(dāng)金屬桿最終勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)桿的速度大��；
（2）當(dāng)金屬桿處于（1）問中的勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，電容器C內(nèi)緊靠極板且正對(duì)a孔的D處有一個(gè)帶正電的粒子從靜止開始經(jīng)電容器C加速后從a孔垂直磁場(chǎng)B₂并正對(duì)著圓心O進(jìn)入筒中，該帶電粒子與圓筒壁碰撞四次后恰好又從小孔a射出圓筒。已知粒子的比荷q/m=5×10⁷（C/kg），該帶電粒子每次與筒壁發(fā)生碰撞時(shí)電量和能量都不損失，不計(jì)粒子重力和空氣阻力，則磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂多大（結(jié)果允許含有三角函數(shù)式）。

Answer 1

（1）
（2）（�。┣樾�1：每段軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為
得： 
（ⅱ）情形2：每段軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為 
將數(shù)據(jù)代式得 

（1）金屬桿先做加速度變小的加速運(yùn)動(dòng)，最終以最大速度勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)桿勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度為v，



將已知數(shù)據(jù)代入得： 
（2）設(shè)桿勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)C兩極板間的電壓為U，帶電粒子進(jìn)入圓筒的速率為V.在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由于C與電阻R₁并聯(lián)，
據(jù)歐姆定律得， 
據(jù)動(dòng)能定理有， 
帶電粒子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)， 
由于帶電粒子與圓筒壁碰撞時(shí)無(wú)電量和能量損失，那么每次碰撞前后粒子速度大小不變.速度方向總是沿著圓筒半徑方向，4個(gè)碰撞點(diǎn)與小孔a恰好將圓筒壁五等分，粒子在圓筒內(nèi)的軌跡具有對(duì)稱性，由5段相同的圓弧組成，設(shè)每段軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為，則由幾何關(guān)系可得： 
有兩種情形符合題意（如圖所示）：

（ⅰ）情形1：每段軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為
得： 
（ⅱ）情形2：每段軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為 
將數(shù)據(jù)代式得