Question

20．據(jù)《每日郵報》報道，美國國家航空航天局（NASA）目前宣布首次在太陽系外發(fā)現(xiàn)“類地”行星Kepler-186f，假如宇航員乘坐宇宙飛船到達該行星，進行科學觀測：該行星自轉周期為T；宇航員在該行星“北極”距該行星地面附近h處自由釋放一個小球（引力視為恒力），落地時間為t．已知該行星半徑為R，萬有引力常量為G，則下列說法正確的是（　　）

• A． 該行星的第一宇宙速度$\frac{πR}{T}$
• B． 該行星的平均密度$\frac{3h}{2πRG{t}^{2}}$
• C． 宇宙飛船繞該星球做圓周運動的周期不大于πt$\sqrt{\frac{2R}{h}}$
• D． 如果該行星存在一顆同步衛(wèi)星，其距行星表面高度為$\root{3}{\frac{h{T}^{2}{R}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}$

Answer 1

分析 根據(jù)自由落體運動求出星球表面的重力加速度，再根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力討論即可．

解答 解：根據(jù)自由落體運動h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，求得星球表面的重力加速度$g=\frac{2h}{{t}^{2}}$，
A、星球的第一宇宙速度$v=\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{2hR}{{t}^{2}}}$，又：T=$\frac{2πR}{v}$，所以v=$\frac{2πR}{T}$．故A錯誤；
B、由$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg\frac{2h}{{t}^{2}}$有：M=$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$，所以星球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{3h}{2G{t}^{2}Rπ}$，故B正確；
C、根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力有：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}r$，垃圾的運行周期：T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，可知軌道半徑越小周期越小，衛(wèi)星的最小半徑為R，則周期最小${T}_{min}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$=πt$\sqrt{\frac{2R}{h}}$，知周期不小于πt$\sqrt{\frac{2R}{h}}$．故C錯誤；
D、同步衛(wèi)星的周期與星球自轉周期相同故有：$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$，代入數(shù)據(jù)解得：h=$\root{3}{\frac{h{T}^{2}{R}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}$-R，故D錯誤．
故選：B

點評 本題關鍵是通過自由落體運動求出星球表面的重力加速度，再根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力和萬有引力等于重力求解．