Question

（2012?海淀區(qū)模擬）如圖所示，有 n（n＞10）個(gè)相同的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）靜止在傾角為 θ 的傾斜軌道上，物塊與軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為 μ．每個(gè)物塊的質(zhì)量均為 m，相鄰物塊間的距離均為 l，最下端的物塊到軌道底端的距離也為 l．使第1個(gè)物塊以某一初速度 v₀沿軌道開(kāi)始下滑，在每次發(fā)生碰撞時(shí)物塊都立即粘合在一起運(yùn)動(dòng)，最后n 個(gè)物塊粘在一起后恰好停在軌道的底端．已知空氣阻力可忽略不計(jì)，重力加速度為g．
（1）求第一次碰撞前瞬間小物塊1的速度v₁的大�。�
（2）設(shè)第5次碰撞前的瞬間運(yùn)動(dòng)物塊的動(dòng)能為E_k5，第5次碰撞過(guò)程中系統(tǒng)損失的機(jī)械能為E_損5，求E_損5和E_k5的比值；
（3）求下滑的整個(gè)過(guò)程中由于相互碰撞而損失的機(jī)械能．

Answer 1

分析：（1）對(duì)于物塊1下滑l的過(guò)程，由動(dòng)能定理列式即可求得v₁的大小；
（2）設(shè)第5次碰撞前，5個(gè)物塊一起運(yùn)動(dòng)的速度大小為v₅，對(duì)第5次碰撞，由動(dòng)量守恒定律列式，根據(jù)動(dòng)能的表達(dá)式寫出碰撞前運(yùn)動(dòng)物塊的動(dòng)能，進(jìn)而求出碰撞過(guò)程中系統(tǒng)損失的機(jī)械能即可求解；
（3）求出n個(gè)木塊運(yùn)動(dòng)和碰撞的全過(guò)程中重力做的總功和克服摩擦做的總功，根據(jù)做功與能量變化的關(guān)系列式即可求解．

解答：解：（1）對(duì)于物塊1下滑l的過(guò)程，由動(dòng)能定理得mglsinθ-μmglcosθ=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 0

得  v1=

v 2 0 +2gl(sinθ-μcosθ)

（2）設(shè)第5次碰撞前，5個(gè)物塊一起運(yùn)動(dòng)的速度大小為v₅，對(duì)第5次碰撞，由動(dòng)量守恒定律有  5mv₅=（5m+m）v'₅
碰撞前運(yùn)動(dòng)物塊的動(dòng)能為E_k5=

1

2

×5m

v

2 5

碰撞過(guò)程中系統(tǒng)損失的機(jī)械能為E_損5=

1

2

×5m

v

2 5

-

1

2

×6mv

′

2 5

解得

E損5

Ek5

=

1

6

              
（3）對(duì)n個(gè)木塊運(yùn)動(dòng)和碰撞的全過(guò)程
重力做的總功WG=mglsinθ(1+2+3+…+n)=

n(n+1)

2

mglsinθ
克服摩擦做的總功Wf=μmgcosθ?l(1+2+3+…+n)=

n(n+1)

2

μmglcosθ
設(shè)整個(gè)過(guò)程中由于相互碰撞而損失的機(jī)械能為E_損總，則根據(jù)做功與能量變化的關(guān)系有WG+

1

2

mv02=Wf+E損總
由以上各式求出  E損總=

1

2

mv02+

n(n+1)

2

mgl(sinθ-μcosθ)
答：（1）第一次碰撞前瞬間小物塊1的速度v₁的大小為

v 2 0 +2gl(sinθ-μcosθ)

；
（2）E_損5和E_k5的比值為

1

6

；
（3）下滑的整個(gè)過(guò)程中由于相互碰撞而損失的機(jī)械能為

1

2

mv02+

n(n+1)

2

mgl(sinθ-μcosθ)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了動(dòng)能定理、動(dòng)量守恒定律及功能關(guān)系的直接應(yīng)用，過(guò)程較為復(fù)雜，難度適中．