Question

(12分)假定月球繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)，地球繞太陽也作圓周運(yùn)動(dòng)，且軌道都在同一平面內(nèi)．已知地球表面處的重力加速度g=9.80m/s²，地球半徑R_e=6.37×10⁶m，月球質(zhì)量m_m=7.3×10²²kg，月球半徑R_m=1.7×10⁶m，引力恒量G=6.67×10^-11N·m²·kg^-2，月心地心間的距離約為r_em=3.84×10⁸m．

(i)        月球的月心繞地球的地心運(yùn)動(dòng)一周需多少天？

(ii)        地球上的觀察者相繼兩次看到滿月需多少天？

(iii)                若忽略月球繞地球的運(yùn)動(dòng)，設(shè)想從地球表面發(fā)射一枚火箭直接射向月球，試估算火箭到達(dá)月球表面時(shí)的速度至少為多少(結(jié)果要求兩位數(shù)字)？

Answer 1

參考解答：

(i)        月球在地球引力作用下繞地心作圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)地球的質(zhì)量為m_e，月球繞地心作圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為ω_m，由萬有引力定律和牛頓定律有

                                                                                                               ⑴

另有

                                                                                                                               ⑵

月球繞地球一周的時(shí)間

                                                                                                                               ⑶

解⑴、⑵、⑶三式得

                                                                                                                       ⑷

代入有關(guān)數(shù)據(jù)得

                                                                                                       ⑸

(ii)        滿月是當(dāng)月球、地球、和太陽成一直線時(shí)才有的，此時(shí)地球在月球和太陽之間，即圖中A的位置．當(dāng)?shù)诙�個(gè)滿月時(shí)，由于地球繞太陽的運(yùn)動(dòng)，地球位置已運(yùn)動(dòng)到．若以表示相繼兩次滿月經(jīng)歷的時(shí)間，表示地球繞太陽運(yùn)動(dòng)的角速度，由于和的方向相同，故有

                                                                                                               ⑹

而

                                                                                                                               ⑺

                                                                                                                               ⑻

式中為地球繞太陽運(yùn)動(dòng)的周期，．由⑹、⑺、⑻三式得

                                                                                                                               ⑼

注意到⑸式，得

                                                                                                                               ⑽

(iii)        從地面射向月球的火箭一方面受到地球的引力作用，另一方面也受到月球的引力作用．當(dāng)火箭離地球較近時(shí)，地球的引力大于月球的引力；當(dāng)離月球較近時(shí)，月球的引力大于地球的引力．作地心和月心的連線，設(shè)在地月間某一點(diǎn)處，地球作用于火箭的引力的大小正好等于月球作用于火箭的引力的大小．以r表示到月球中心的距離，則有

                                                                                                               ⑾

式中m為火箭的質(zhì)量．由⑾式得

                                                                                               ⑿

解⑿式，注意到⑵式，代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得

                                                                                                                       ⒀

從地球表面發(fā)射直接射向月球的火箭只要能到達(dá)O點(diǎn)，則過O點(diǎn)后，因月球引力大于地球引力，它便能在月球引力作用下到達(dá)月球，這樣發(fā)射時(shí)火箭離開地面時(shí)的速度最小，它到達(dá)月球時(shí)的速度也最�。�設(shè)火箭剛達(dá)到月球時(shí)的最小速度為v，則由機(jī)械能守恒定律有

                                                       ⒁

解得

                                                       ⒂

注意到⑵式，代入有關(guān)數(shù)據(jù)得

                                                                                                               ⒃

評分標(biāo)準(zhǔn)：

本題12分．

第(i)小問3分．求得⑷式得2分，求得⑸式得1分．

第(ii)小問3分．求得⑼式得2分，求得⑽式得1分．

第(iii)小問6分．⑾式2分，⒁式2分，⒃式2分．