Question

在高能物理研究中，粒子回旋加速器起著重要作用，如圖甲為它的示意圖．它由兩個(gè)鋁制D型金屬扁盒組成，兩個(gè)D形盒正中間開有一條窄縫．兩個(gè)D型盒處在勻強(qiáng)磁場中并接有高頻交變電壓．圖乙為俯視圖，在D型盒上半面中心S處有一正離子源，它發(fā)出的正離子，經(jīng)狹縫電壓加速后，進(jìn)入D型盒中．在磁場力的作用下運(yùn)動(dòng)半周，再經(jīng)狹縫電壓加速．如此周而復(fù)始，最后到達(dá)D型盒的邊緣，獲得最大速度，由導(dǎo)出裝置導(dǎo)出．已知正離子的電荷量為q，質(zhì)量為m，加速時(shí)電極間電壓大小為U，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，D型盒的半徑為R．每次加速的時(shí)間很短，可以忽略．正離子從離子源出發(fā)時(shí)的初速度為零．
（1）為了使正離子每經(jīng)過窄縫都被加速，求交變電壓的頻率；
（2）求離子能獲得的最大動(dòng)能；
（3）求離子第1次與第n次在下半盒中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑之比．

Answer 1

（1）使正離子每經(jīng)過窄縫都被加速，交變電壓的頻率應(yīng)等于離子做圓周運(yùn)動(dòng)的頻率，正離子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
由洛倫茲力提供向心力Bqv=m

v2

r

又T=

2πr

v

解得T=

2πm

qB

所以f=

qB

2πm

（2）當(dāng)離子從D盒邊緣離開時(shí)速度最大，此時(shí)離子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為D盒的半徑有v_m=

qBr

m

離子獲得的最大動(dòng)能為E=

1

2

mv

2m

=

q2B2R2

2m

（3）離子從S點(diǎn)經(jīng)電場加速1次后，以速度v₁第1次進(jìn)入下半盒，由動(dòng)能定理Uq=

1

2

mv

21

得 v1=

2Uq m

又r1=

mv1

qB

=

m

qB

2qU m

離子從S點(diǎn)經(jīng)電場加速3次后，以速度v₃第2次進(jìn)入下半盒3Uq=

1

2

mv

23

解得v₃=

3×2Uq m

，r2=

mv3

qB

=

m

qB

3×2qU m

…離子經(jīng)電場加速（2n-1）次后，第n次進(jìn)入磁場 同理可得r_n=

m

qB

(2n-1)×2qU m

所以

r1

rn

=

1

2n-1

答：（1）為了使正離子每經(jīng)過窄縫都被加速，交變電壓的頻率為

qB

2πm

；
（2）離子能獲得的最大動(dòng)能為

q2B2R2

2m

；
（3）離子第1次與第n次在下半盒中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑之比為

r1

rn

=

1

2n-1

．