Question

11．我國的“天鏈一號”星是地球同步軌道衛(wèi)星，可為載人航天器及中低軌道衛(wèi)星提供數(shù)據(jù)通訊．如圖為“天鏈一號“星a、赤道平面內(nèi)的低軌道衛(wèi)星 b、地球的位置關(guān)系示意圖，O為地心，地球相對衛(wèi)星a、b的張角分別為θ₁和θ₂（θ₂圖中未標(biāo)出），衛(wèi)星a的軌道半徑是b的4倍．已知衛(wèi)星a、b繞地球同向運(yùn)行，衛(wèi)星a的周期為T，在運(yùn)行過程中由于地球的遮擋，衛(wèi)星b會(huì)進(jìn)入與衛(wèi)星 a通訊的盲區(qū)．衛(wèi)星間的通訊信號視為沿直線傳播，信號傳輸時(shí)間可忽略．下列分析正確的是（　�。�

• A． 張角θ₁和θ₂滿足sinθ₂=4sinθ₁
• B． 衛(wèi)星b星的周期為$\frac{T}{4}$
• C． 衛(wèi)星b每次在盲區(qū)運(yùn)行的時(shí)間為$\frac{{θ}_{1}+{θ}_{2}}{14π}$T
• D． 衛(wèi)星b每次在盲區(qū)運(yùn)行的時(shí)間為$\frac{{θ}_{1}+{θ}_{2}}{16π}$T

Answer 1

分析 根據(jù)幾何關(guān)系求解張角θ₁和θ₂滿足的關(guān)系，由萬有引力提供向心力，列式求解衛(wèi)星b的周期．衛(wèi)星間的通訊信號視為沿直線傳播，由幾何關(guān)系得到衛(wèi)星b在盲區(qū)有兩個(gè)邊緣相對于地球的張角，再求解在盲區(qū)運(yùn)行的時(shí)間．

解答 解：A、設(shè)衛(wèi)星a、b的軌道半徑分別為r₁和r₂．地球半徑為R．
由幾何知識得：tan$\frac{{θ}_{1}}{2}=\frac{R}{{r}_{1}}$，tan$\frac{{θ}_{2}}{2}=\frac{R}{{r}_{2}}$
由題 r₁=4r₂．則得 4tan$\frac{{θ}_{1}}{2}$=tan$\frac{{θ}_{2}}{2}$，由數(shù)學(xué)知識sinθ₂≠4sinθ₁．故A錯(cuò)誤．
B、由$\frac{GMm}{{{r}_{\;}}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{\;}}^{2}}$r
可得 T=2$π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，可得 r₁=4r₂．則得衛(wèi)星b星的周期為$\frac{T}{8}$，故B錯(cuò)誤．
CD、如圖，A、B是衛(wèi)星盲區(qū)兩個(gè)邊緣位置，由幾何知識可得∠AOB=θ₁+θ₂，則 （$\frac{\frac{2π}{T}}{8}-\frac{2π}{T}$）t=∠AOB=θ₁+θ₂，
解得，b每次在盲區(qū)運(yùn)行的時(shí)間為 t=$\frac{{θ}_{1}+{θ}_{2}}{14π}$T，故C正確，D錯(cuò)誤．
故選：C

點(diǎn)評 本題既要掌握衛(wèi)星問題的基本思路：萬有引力提供向心力，更重要的是畫出示意圖，運(yùn)用幾何知識解答．