Question

18．如圖所示，邊長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m、阻值為R的正方形金屬框abcd位于光滑的水平面上．金屬框的ab邊與磁場(chǎng)邊緣平行，并以一定的初速度進(jìn)入矩形磁場(chǎng)區(qū)域，運(yùn)動(dòng)方向與磁場(chǎng)邊緣垂直．磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直水平面向下，磁場(chǎng)在金屬框運(yùn)動(dòng)方向上的長(zhǎng)度為L(zhǎng)（L未知，但L≥l）．已知金屬框的ab邊進(jìn)入磁場(chǎng)后，金屬框在進(jìn)出磁場(chǎng)階段中的運(yùn)動(dòng)速度與ab邊在磁場(chǎng)的位置坐標(biāo)之間的關(guān)系為v=v₀-kx（v₀未知），式中k為一正常常量．若金屬框完全通過(guò)磁場(chǎng)后恰好靜止，求：
（1）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大�。�
（2）金屬框進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中所產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)v=v₀-kx得到△v與△x的關(guān)系，由加速度的定義a=$\frac{△v}{△t}$，速度的定義v=$\frac{△x}{△t}$，得到加速度與速度的關(guān)系．由E=BLv、I=$\frac{E}{R}$、F=BIL及牛頓第二定律F=ma結(jié)合，即可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小．
（2）據(jù)題線框完全進(jìn)入磁場(chǎng)后沒(méi)有感應(yīng)電流產(chǎn)生，線框做勻速運(yùn)動(dòng)，由x=2l時(shí)v=0，由v=v₀-kx，求出v₀，再由動(dòng)能定理求出線框克服安培力做功，即可求得金屬框進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中所產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）由v=v₀-kx，得：△v=-k△x
$\frac{△v}{△t}$=-k$\frac{△x}{△t}$=-kv
即得 a=$\frac{△v}{△t}$=-kv
而E=BLv、I=$\frac{E}{R}$，線框進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)所受的安培力大小為  F=BIL
取向右為正方向，則根據(jù)牛頓第二定律得-F=ma
由以上各式得 B=$\frac{\sqrt{mkR}}{L}$
（2）金屬框完全進(jìn)入磁場(chǎng)后，金屬框中磁通量不變，無(wú)感應(yīng)電流產(chǎn)生，金屬框不受安培力而做勻速運(yùn)動(dòng)．
由題意可知 x=2L時(shí)，v=0
又v=v₀-kx，得v₀=2kL
由動(dòng)能定理得：-W_克=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
即得克服安培力做功為  W_克=2mk²L²，根據(jù)功能關(guān)系得金屬框進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中所產(chǎn)生的熱量 Q=W_克=2mk²L²．
答：
（1）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小是$\frac{\sqrt{mkR}}{L}$．
（2）金屬框進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中所產(chǎn)生的熱量是2mk²L²．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵要掌握加速度和速度的定義，由題中信息分析加速度與速度的關(guān)系，知道克服安培力做功等于線框產(chǎn)生的熱量．