Question

如圖所示，在水平軌道右側(cè)安放半徑為R的豎直圓槽形光滑軌道，水平軌道的PQ段鋪設(shè)特殊材料，調(diào)節(jié)其初始長(zhǎng)度為l．水平軌道左側(cè)有一輕質(zhì)彈簧左端固定，彈簧處于自然伸長(zhǎng)狀態(tài)．小物塊A（可視為質(zhì)點(diǎn)）從軌道右側(cè)以初速度v₀沖上軌道，通過(guò)圓形軌道、水平軌道后壓縮彈簧并被彈簧以原速率彈回，經(jīng)水平軌道返回圓形軌道．已知R=0.2m，l=1.0m，v₀=2

3

m/s，物塊A質(zhì)量為m=1kg，與PQ段間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2，軌道其他部分摩擦不計(jì)，取g=10m/s²．求：

（1）物塊A與彈簧剛接觸時(shí)的速度大小．
（2）物塊A被彈簧以原速率彈回返回到圓形軌道的高度．
（3）調(diào)節(jié)PQ段的長(zhǎng)度l，A仍以v₀從軌道右側(cè)沖上軌道，當(dāng)l滿足什么條件時(shí)，A物塊能第一次返回圓形軌道且能沿軌道運(yùn)動(dòng)而不會(huì)脫離軌道．

Answer 1

（1）物塊A沖上圓形軌道后回到最低點(diǎn)速度為v₀=2

3

m/s，
與彈簧接觸瞬間，-μmgl=

1

2

m

v

21

-

1

2

m

v

20

，
可得，物塊A與彈簧剛接觸時(shí)的速度大小v1=2

2

m/s；
（2）A被彈簧以原速率v₁彈回，向右經(jīng)過(guò)PQ段，
有

v

22

-

v

21

=-2μgl；解得A速度v₂=2m/s，
A滑上圓形軌道，有-mgh=0-

1

2

m

v

22

，
（也可以應(yīng)用-μ×mgl-mgh=

1

2

m

v

22

-

1

2

m

v

21

）
可得，返回到右邊軌道的高度為h=0.2m=R，符合實(shí)際．
（3）物塊A以v₀沖上軌道直到回到PQ段右側(cè)，
有v

′

21

-

v

20

=-2μg×2l，
可得，A回到右側(cè)速度：v

′

21

=(12-8l)(m/s)2，
要使A能返回右側(cè)軌道且能沿軌道運(yùn)動(dòng)而不脫離軌道，則有：
①若A沿軌道上滑至最大高度h時(shí)，速度減為0，則h滿足：0＜h≤R，
根據(jù)機(jī)械能守恒：

1

2

mv

′

21

=mgh聯(lián)立可得，1.0m≤l＜1.5m；
②若A能沿軌道上滑至最高點(diǎn)，則滿足：

1

2

mv

′

21

=mg×2R+

1

2

mv

′

22

且m

v ′ 22

R

≥mg，
聯(lián)立得l≤0.25m，綜上所述，要使A物塊能第一次返回圓形軌道并沿軌道運(yùn)動(dòng)而不脫離軌道，
l滿足的條件是1.0m≤l＜1.5m或l≤0.25m；
答：（1）物塊A與彈簧剛接觸時(shí)的速度大小為2

2

m/s．
（2）物塊A被彈簧以原速率彈回返回到圓形軌道的高度0.2m．
（3）A物塊能第一次返回圓形軌道且能沿軌道運(yùn)動(dòng)而不會(huì)脫離軌道的條件是：1.0m≤l＜1.5m或l≤0.25m．