Question

5．如圖所示，有一固定且內(nèi)壁光滑的半球面，球心為O，最低點(diǎn)為C，在其內(nèi)壁上有兩個(gè)質(zhì)量相同的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）A和B，在兩個(gè)高度不同的水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，A球的軌跡平面高于B球的軌跡平面．A、B兩球與O點(diǎn)的連線與豎直線OC間的夾角分別為α=53°和β=37°（sin37°=0.6，cos37°=0.8，sin53°=0.8，cos53°=0.6）．以最低點(diǎn)C所在的水平面為重力勢(shì)能的參考平面，則（　　）

• A． A、B兩球所受彈力的大小之比為4：3
• B． A、B兩球運(yùn)動(dòng)的周期之比為4：3
• C． A、B兩球的動(dòng)能之比為64：9
• D． A、B兩球的重力勢(shì)能之比為16：9

Answer 1

分析 小球受重力和支持力，靠這兩個(gè)力的合力提供向心力，根據(jù)平行四邊形定則求出支持力之比，根據(jù)牛頓第二定律求出周期、線速度之比．從而得出動(dòng)能之比．根據(jù)高度求出重力勢(shì)能，從而得出重力勢(shì)能之比．

解答 解：A、對(duì)于任意一球，設(shè)其與O連線和豎直線OC的夾角為θ
根據(jù)平行四邊形定則得：彈力大小為 N=$\frac{mg}{cosθ}$，則$\frac{{N}_{A}}{{N}_{B}}$=$\frac{cosβ}{cosα}$=$\frac{cos37°}{cos53°}$=$\frac{4}{3}$．故A正確．
B、設(shè)球面的半徑為R．根據(jù) mgtanθ=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$Rsinθ，得 T=2π$\sqrt{\frac{Rcosθ}{g}}$
可得 $\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}$=$\sqrt{\frac{cosα}{cosβ}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故B錯(cuò)誤．
C、根據(jù) mgtanθ=m$\frac{{v}^{2}}{Rsinθ}$，動(dòng)能E_k=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，解得E_k=$\frac{1}{2}$mgRtanθsinθ，則A、B兩球的動(dòng)能之比$\frac{{E}_{KA}}{{E}_{KB}}$=$\frac{tan53°sin53°}{tan37°sin37°}$=$\frac{64}{27}$．故C錯(cuò)誤．
D、小球的重力勢(shì)能E_p=mgR（1-cosθ），則A、B兩球的重力勢(shì)能之比為$\frac{{E}_{PA}}{{E}_{PB}}$=$\frac{1-cos53°}{1-cos37°}$=2．故D錯(cuò)誤．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵搞清向心力的來源，運(yùn)用牛頓第二定律得出線速度、周期的關(guān)系．