Question

如圖所示，在豎直平面內(nèi)，虛線(xiàn)MO與水平線(xiàn)PQ相交于O，二者夾角θ=30°，在MO左側(cè)存在電場(chǎng)強(qiáng)度為E、方向豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，MO右側(cè)某個(gè)區(qū)域存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，O點(diǎn)處在磁場(chǎng)的邊界上，現(xiàn)有一群質(zhì)量為m、電量為+q的帶電粒子在紙面內(nèi)以速度v（0≤v≤

E

B

）垂直于MO從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)，所有粒子通過(guò)直線(xiàn)MO時(shí)，速度方向均平行于PQ向左，不計(jì)粒子的重力和粒子間的相互作用力．求：
（1）速度最大的粒子從O開(kāi)始射入磁場(chǎng)至返回水平線(xiàn)POQ所用的時(shí)間．
（2）磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積．

Answer 1

（1）粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，設(shè)粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，周期為T(mén)，粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁
則 qvB=m

v2

R

解得：R=

mv

qB

    
T=

2πm

Bq

  
t1=

1

3

T  
設(shè)粒子自N點(diǎn)水平飛出磁場(chǎng)，出磁場(chǎng)后應(yīng)做勻速運(yùn)動(dòng)至OM，設(shè)勻速運(yùn)動(dòng)的距離為s，勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂，由幾何關(guān)系知：
s=

R

tanθ

 
t2=

s

v

   
過(guò)MO后粒子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₃，
則：

3

2

R=

1

2

qE

m

t32   
又由題知：v=

E

B

則速度最大的粒子自O(shè)進(jìn)入磁場(chǎng)至重回水平線(xiàn)POQ所用的時(shí)間為：
t=t₁+t₂+t₃=

2(3 3 +π)

3

m

qB

 （2）由題知速度大小不同的粒子均要水平通過(guò)OM，則其飛出磁場(chǎng)的位置均應(yīng)在ON的連線(xiàn)上，故磁場(chǎng)范圍的最小面積△S是速度最大的粒子在磁場(chǎng)中的軌跡與ON所圍成的面積，
扇形OO′N(xiāo)的面積的面積S=

1

3

πR2
△OO′N(xiāo)的面積為：S′=R²cos30°sin30°=

3

4

R2
△S=S-S′
解得：△S=(

4π-3 3

12

)

m2E2

q2B4

答：（1）速度最大的粒子從O開(kāi)始射入磁場(chǎng)至返回水平線(xiàn)POQ所用的時(shí)間為

2(3 3 +π)

3

m

qB

．
（2）磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積為(

4π-3 3

12

)

m2E2

q2B4

．