Question

1．在xOy平面第Ⅰ象限中，存在沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)為E₁=$\frac{3πBl}{2{t}_{0}}$，第Ⅱ象限中存在沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)為E₂=$\frac{πBl}{2{t}_{0}}$，在第Ⅲ、Ⅳ象限中，存在垂直于xOy平面方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向如圖所示．磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁=B，B₂=2B．帶電粒子a、b同時(shí)從y軸上的點(diǎn)M（0，-$\sqrt{3}$l）以不同的速率向相反方向射出，射出時(shí)粒子a的速度方向與y軸正方向成60°角，經(jīng)過時(shí)間t₀，粒子a、b同時(shí)第一次垂直x軸進(jìn)入電場(chǎng)，不計(jì)粒子重力和兩粒子間相互作用．求：
（1）粒子a的比荷及射出磁場(chǎng)時(shí)的位置；
（2）粒子a、b射出磁場(chǎng)時(shí)速度的大小；
（3）進(jìn)入電場(chǎng)后，粒子a、b先后第一次到達(dá)y軸上的P、Q兩點(diǎn)（圖中未畫出），求P、Q兩點(diǎn)間的距離．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出軌跡，求出半徑和周期，根據(jù)時(shí)間與周期的關(guān)系，求解比荷．由幾何知識(shí)得到射出磁場(chǎng)時(shí)的位置；
（2）兩個(gè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑相等，由弧長(zhǎng)與半徑的關(guān)系求解粒子的速度．
（3）粒子進(jìn)入電場(chǎng)后做類平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求解．

解答 解：（1）畫出粒子a在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)可得a、b的軌跡半徑相等，均為 r=$\frac{\sqrt{3}l}{sin60°}$=2l
對(duì)于a粒子，由 t₀=$\frac{60°}{360°}$T_a．
又 T_a=$\frac{2π{m}_{a}}{q{B}_{a}}$
得 $\frac{{q}_{a}}{{m}_{a}}$=$\frac{π}{3B{t}_{0}}$，
粒子射出磁場(chǎng)時(shí)離O點(diǎn)的距離為 x=r-rcos60°=l
位置坐標(biāo)為（l，0）
（2）對(duì)于a粒子，由v_at₀=r•$\frac{π}{3}$，可得v_a=$\frac{2πl(wèi)}{3{t}_{0}}$
對(duì)于b粒子，由v_bt₀=r•$\frac{2π}{3}$，可得v_b=$\frac{4πl(wèi)}{3{t}_{0}}$
（3）進(jìn)入電場(chǎng)后兩個(gè)粒子都做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
對(duì)于a粒子有：x軸方向的分位移為 x_a=r-rcos60°=l
且有x_a=$\frac{1}{2}{a}_{a}{t}_{a}^{2}$=$\frac{1}{2}•\frac{{q}_{a}{E}_{1}}{{m}_{a}}{t}_{a}^{2}$
y軸方向的分位移為  y_a=v_at_a；
又 E₁=$\frac{3πBl}{2{t}_{0}}$，$\frac{{q}_{a}}{{m}_{a}}$=$\frac{π}{3B{t}_{0}}$，v_a=$\frac{2πl(wèi)}{3{t}_{0}}$
聯(lián)立解得 y_a=$\frac{4}{3}$l
對(duì)于b粒子有：t₀=$\frac{1}{3}$T_b=$\frac{1}{3}•\frac{2π{m}_}{{q}_•2B}$
可得$\frac{{q}_}{{m}_}$=$\frac{π}{3B{t}_{0}}$
在電場(chǎng)中b粒子也做類平拋運(yùn)動(dòng)，同理可得，b粒子通過電場(chǎng)時(shí)y軸方向的分位移為  y_b=8l
故P、Q兩點(diǎn)間的距離 S=y_b-y_a=$\frac{20}{3}$l
答：
（1）粒子a的比荷為$\frac{π}{3B{t}_{0}}$，射出磁場(chǎng)時(shí)的位置坐標(biāo)為（l，0）．
（2）粒子a、b射出磁場(chǎng)時(shí)速度的大小分別為$\frac{2πl(wèi)}{3{t}_{0}}$和$\frac{4πl(wèi)}{3{t}_{0}}$．
（3）P、Q兩點(diǎn)間的距離為$\frac{20}{3}$l．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于帶電粒子在組合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，一直是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)．解題的關(guān)鍵是畫出軌跡，根據(jù)牛頓第二定律求半徑，確定軌跡的圓心角，計(jì)算時(shí)間與周期的關(guān)系．根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求在電場(chǎng)中的位移．