Question

如圖所示，質(zhì)量為0.3kg的小車靜止在足夠長的光滑軌道上，小車下面掛一質(zhì)量為0.1kg的小球B，在旁邊有一支架被固定在軌道上，支架上O點(diǎn)懸掛一質(zhì)量也為0.1kg的小球A．兩球球心至懸掛點(diǎn)的距離l也為0.2m，當(dāng)兩球靜止時(shí)剛好相切，兩球球心位于同一水平線上，兩懸線豎直并相互平行．將A球向左拉到圖中虛線所示位置后由靜止釋放與B球相碰，如果碰撞過程中無機(jī)械能損失，g=10m/s²，求：
（1）碰撞后B球上升的最大高度；
（2）小車能獲得的最大速度．

Answer 1

分析：（1）A球從靜止開始自由下落到A點(diǎn)的正下方，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出繩子剛繃直瞬間的速度大�。�繃直過程中，A球沿繩子方向的速度突然減小為零，以切向分速度向右做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出A球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的速度．再根據(jù)碰撞過程，兩球的動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒可知，由于兩球質(zhì)量相等，交換速度，再對B球和小車組成的系統(tǒng)運(yùn)用機(jī)械能守恒定律和水平方向動(dòng)量守恒求解最大高度．
（2）當(dāng)B球擺回最低點(diǎn)時(shí)，小車能獲得的最大速度，對B球和小車組成的系統(tǒng)運(yùn)用機(jī)械能守恒定律和水平方向動(dòng)量守恒求解小車能獲得的最大速度．

解答：解：（1）如圖所示，A球從靜止開始自由下落到A點(diǎn)的正下方C點(diǎn)時(shí)線繃直，設(shè)此時(shí)速度為v_C，則：

v

2 C

=2g?2lsin30°
解得：v_C=

2gl

=

2×10×0.2

=2m/s
繃直過程中，A球沿繩子方向的速度突然減小為零，A球?qū)⒁郧邢蚍炙俣认蛴易鰣A周運(yùn)動(dòng)，切向分速度為：
v₁=v_Ccos30°=1.73m/s
A球從C球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)，與B球碰撞前機(jī)械能守恒，設(shè)A球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)與B球碰撞前的速度為v₂，則：

1

2

mA

v

2 1

+

1

2

mAgl(1-cos60°)=

1

2

mA

v

2 2

解得：v₂=

v 2 1 +gl

=

(1.73)2+10×0.2

=2.24m/s
兩球碰撞過程，遵守動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，由于兩球質(zhì)量相等，交換速度，即B獲得速度：v₂=2.24m/s．
再對B球和小車組成的系統(tǒng)，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律和水平方向動(dòng)量守恒，設(shè)B上升的最大高度為h．
則有：m_Bv₂=（M+m_B）v

1

2

mB

v

2 2

=

1

2

(M+mB)v2+m_Bgh
聯(lián)立解得：h=0.1875m
（2）B球擺回最低點(diǎn)的過程中，懸線仍使小車加速，故當(dāng)B球擺回最低點(diǎn)時(shí)小車獲得的速度最大，設(shè)最大速度v_m，B球的速度為v₃，則對B球和小車組成的系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律和水平方向動(dòng)量守恒得：
m_Bv₂=-m_Bv₃+Mv_m，

1

2

mB

v

2 2

=

1

2

mB

v

2 3

+

1

2

M

v

2 m

解得：v_m=1.12m/s
答：（1）碰撞后B球上升的最大高度是0.1875m；
（2）小車能獲得的最大速度是1.12m/s．

點(diǎn)評：該題是一道綜合題，綜合運(yùn)用了機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量守恒定律，解決本題的關(guān)鍵熟練這些定律的運(yùn)用，容易出錯(cuò)之處是把B于到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)小車的速度當(dāng)作最大速度．