Question

平面直角坐標(biāo)系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，第Ⅳ象限存在垂直于坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子從y軸正半軸上的M點(diǎn)以速度v₀垂直于y軸射入電場，經(jīng)x軸上的N點(diǎn)與x軸正方向成60°角射入磁場，最后從y軸負(fù)半軸上的P點(diǎn)與y軸正方向成60°角射出磁場，如圖所示．不計(jì)粒子重力，求
（1）粒子在磁場中運(yùn)動的軌道半徑R；
（2）勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大小E．

Answer 1

分析：粒子在坐標(biāo)軸第一象限做類平拋運(yùn)動，已知類平拋的初速度v₀，和離開電場時(shí)的速度方向與x軸方向成60°角，根據(jù)類平拋運(yùn)動規(guī)律，根據(jù)初速度可以求出粒子進(jìn)入磁場的初速度v，粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力，已知速度v和磁感應(yīng)強(qiáng)度B，可得粒子做圓周運(yùn)動的軌道半徑R；根據(jù)粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡可以求得粒子做類平拋運(yùn)動在x軸方向的位移，由于在x軸方向做勻速直線運(yùn)動，故類平拋時(shí)間t可求，在y軸方向上可以求得粒子的速度v，據(jù)v=at可以得出粒子的加速度a，由于是電場力產(chǎn)生加速度，故可以求出電場強(qiáng)度E．

解答：解：（1）因?yàn)榱Ｗ釉陔妶鲋凶鲱惼綊佭\(yùn)動，設(shè)粒子過N點(diǎn)時(shí)的速度為v，

根據(jù)平拋運(yùn)動的速度關(guān)系粒子在N點(diǎn)進(jìn)入磁場時(shí)的速度v=

vx

cos60°

=

Vo

cos60°

=2v₀
如圖：

分別過N、P點(diǎn)作速度方向的垂線，相交于Q點(diǎn)，則Q是粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的圓心，
根據(jù)牛頓第二定律 qvB=

mv2

R

∴R=

mv

qB

代入v=2v₀得粒子的軌道半徑  
R=

2mV0

qB

（2）粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，設(shè)加速度為a，運(yùn)動時(shí)間為t
由牛頓第二定律：qE=ma          ①
設(shè)沿電場方向的分速度為v_y=at         ②
粒子在電場中x軸方向做勻速運(yùn)動，由圖根據(jù)粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡可以得出：
粒子在x軸方向的位移：Rsin30°+Rcos30°=v₀t       ③
又  v_y=v₀tan60°      ④
由①②③④可以解得  E=

(3- 3 )V0B

2

．
答：（1）粒子在磁場中運(yùn)動的軌道半徑R=

2mV0

qB

；
（2）勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大小E=

(3- 3 )V0B

2

．

點(diǎn)評：掌握平拋運(yùn)動的處理方法并能運(yùn)用到類平拋運(yùn)動中，粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，能正確的畫出運(yùn)動軌跡，并根據(jù)幾何關(guān)系確定各量之間的關(guān)系．