Question

13．如圖所示，在0≤x≤b、0≤y≤a的長方形區(qū)域中有一磁感應強度大小為B的勻強磁場，磁場的方向垂直于xOy平面向外．O處有一粒子源，在某時刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xOy平面內(nèi)的第一象限內(nèi)．已知粒子在磁場中做圓周運動的周期為T，最先從磁場上邊界飛出的粒子經(jīng)歷的時間為$\frac{T}{12}$，最后從磁場中飛出的粒子經(jīng)歷的時間為$\frac{T}{4}$，不計粒子的重力及粒子間的相互作用，則（　�。�

• A． 粒子射入磁場的速率v=$\frac{2qBa}{m}$
• B． 粒子圓周運動的半徑r=2a
• C． 長方形區(qū)域的邊長滿足關(guān)系$\frac{a}$=$\sqrt{3}$+1
• D． 長方形區(qū)域的邊長滿足關(guān)系$\frac{a}$=2

Answer 1

分析 由最先從磁場上邊界飛出的粒子經(jīng)歷的時間為$\frac{T}{12}$求得粒子半徑，再根據(jù)半徑求得速率；并由最后從磁場中飛出的粒子經(jīng)歷的時間為$\frac{T}{4}$求得磁場區(qū)域邊長關(guān)系．

解答 解：粒子在磁場中做圓周運動，洛倫茲力作向心力，則有：$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，所以，$R=\frac{mv}{Bq}$；
B、粒子在磁場中做圓周運動的半徑相等，所以，粒子做圓周運動的弦長越長，則其對應的中心角越大，運動時間越長；
最先從磁場上邊界飛出的粒子經(jīng)歷的時間為$\frac{T}{12}$，則其對應的弦長最短，即出射點的x坐標最小，則粒子入射速度為y軸正方向；
運動時間為$\frac{T}{12}$，則其對應的中心角為30°，則如圖所示，，所以，$R=\frac{a}{sin30°}=2a$，故B正確；
A、由$R=\frac{mv}{Bq}=2a$可得：$v=\frac{2qBa}{m}$，故A正確；
CD、最后從磁場中飛出的粒子經(jīng)歷的時間為$\frac{T}{4}$，對應于最大中心角為90°，弦長為$2\sqrt{2}a$；
若b較小，粒子可以從右上頂點射出，則此時有${a}^{2}+^{2}=（2\sqrt{2}a）^{2}$，所以，$b=\sqrt{7}a$；
若b較大，最后飛出的粒子運動軌跡與上邊界相切，如圖所示，，從O點到與上邊界相切時轉(zhuǎn)過了60°，所以，粒子出射點在右邊界，不在x軸上，再由幾何關(guān)系可知：$b=（\sqrt{3}+1）a$，故C正確，D錯誤．
故選：ABC．

點評 在半徑相同的圓弧上，弦長越長，其對應的中心角越大．在帶電粒子在磁場中的運動問題中，常根據(jù)此求得臨界條件進而得到半徑．