Question

12．如圖所示，從A點(diǎn)以某一水平速度v₀拋出質(zhì)量m=1kg的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），當(dāng)物塊運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)時(shí)，恰好沿切線方向進(jìn)入圓心角∠BOC=37°的光滑圓弧軌道BC，經(jīng)圓孤軌道后滑上與C點(diǎn)等高、靜止在粗糙水平面的長(zhǎng)木板上，圓弧軌道C端切線水平．已知長(zhǎng)木板的質(zhì)量M=4kg，A、B兩點(diǎn)距C點(diǎn)的高度分別為H=0.6m、h=0.15m，圓弧軌道半徑R=0.75m，物塊與長(zhǎng)木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.7，長(zhǎng)木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.2，g=10m/s²．sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）小物塊在B點(diǎn)時(shí)的速度大��；
（2）小物塊滑動(dòng)至C點(diǎn)時(shí)，對(duì)圓弧軌道C點(diǎn)的壓力；
（3）長(zhǎng)木板至少為多長(zhǎng)，才能保證小物塊不滑出長(zhǎng)木板？（設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力）

Answer 1

分析 （1）小物塊從A到B做平拋運(yùn)動(dòng)，已知平拋的拋出高度和落地速度方向，求落地的速度大小和方向，用運(yùn)動(dòng)的合成與分解求解；
（2）小物塊在BC間做圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理求出小物塊通過C點(diǎn)的速度．在C點(diǎn)時(shí)軌道支持力和重力的合力提供物塊圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，據(jù)此求解即可；
（3）根據(jù)物塊在長(zhǎng)木板上滑動(dòng)時(shí)，物塊的位移-長(zhǎng)木板的位移應(yīng)該小于等于長(zhǎng)木板的長(zhǎng)度這一臨界條件展開討論即可．

解答 解：（1）物塊從A點(diǎn)到B點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，則有：
  H-h=$\frac{1}{2}$gt²   
設(shè)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)豎直分速度為v_y，則：v_y=gt
據(jù)題有 tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
聯(lián)立解得 v_B=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=5m/s  
（2）從A至C點(diǎn)，由動(dòng)能定理得
  mgH=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$    
設(shè)物塊在C點(diǎn)受到的支持力為F_N，則由牛頓第二定律得：
F_N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
聯(lián)立可得：v_C=2$\sqrt{7}$m/s，F(xiàn)_N=47.3 N     
根據(jù)牛頓第三定律可知，物塊對(duì)圓弧軌道C點(diǎn)的壓力大小為47.3N
（3）小物塊m與長(zhǎng)木板間的滑動(dòng)摩擦力：f=μ₁mg=7N 
長(zhǎng)木板與地面間的最大靜摩擦力近似等于滑動(dòng)摩擦力：f′=μ₂（M+m）g=10N 
因f＜f′，所以小物塊在長(zhǎng)木板上滑動(dòng)時(shí)，長(zhǎng)木板靜止不動(dòng)
小物塊在長(zhǎng)木板上做勻減速運(yùn)動(dòng)，至長(zhǎng)木板右端時(shí)速度剛好為0
則長(zhǎng)木板長(zhǎng)度至少為：l=$\frac{{v}_{2}^{2}}{2{μ}_{1}g}$=2.0m   
答：（1）小物塊運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)時(shí)的速度大小為5m/s；
（2）小物塊滑動(dòng)至C點(diǎn)時(shí)，對(duì)圓弧軌道C點(diǎn)的壓力是47.3 N；
（3）長(zhǎng)木板至少為2.0m，才能保證小物塊不滑出長(zhǎng)木板．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵要理清物塊在多個(gè)不同運(yùn)動(dòng)過程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，掌握物塊各個(gè)階段的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．