Question

（2009?德陽(yáng)模擬）在光滑水平面上有兩個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A、B，m_A=1kg，m_B=0.5kg在兩球間存在一有限區(qū)域：當(dāng)兩小球均在該區(qū)域內(nèi)或者任一小球在該區(qū)域內(nèi)兩球間就有相互作用的恒定斥力F=1N，當(dāng)兩小球均在該區(qū)域外時(shí)兩球間無作用力．A球離作用區(qū)左邊界S_A=20m，B在作用區(qū)右邊界處，作用區(qū)長(zhǎng)度L=5.5m．現(xiàn)使A以初速度v_A=8m/s、B球以初速度v_B=2m/s相向運(yùn)動(dòng)．求：
（1）A從開始運(yùn)動(dòng)到完全穿過作用區(qū)所用時(shí)間
（2）適當(dāng)調(diào)節(jié)作用區(qū)的寬度或作用力大小，可使A穿過作用區(qū)后A、B兩球的總動(dòng)能最小，求A、B兩球的最小總動(dòng)能．

Answer 1

分析：（1）A從開始運(yùn)動(dòng)到完全穿過作用區(qū)時(shí)，兩球間存在相互作用力，大小為F，A球做勻減速運(yùn)動(dòng)，B球做勻減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律可求得兩球的加速度大小．根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出B在作用區(qū)中運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)距離．對(duì)B，運(yùn)用動(dòng)量定理求出B從進(jìn)入作用區(qū)到穿出作用區(qū)的時(shí)間，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出A運(yùn)動(dòng)勻減速運(yùn)動(dòng)的距離，再求解勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，分過程求解．
（2）要使A、B的動(dòng)能之和最小，A穿過作用區(qū)后與B速度相等，即可求得A、B兩球的最小總動(dòng)能．

解答：解：（1）B球受作用力的加速度為：a_B=

F

mB

=

1

0.5

m/s²=2m/s²
A球受作用力的加速度為：a_A=

F

mA

=

1

1

m/s²=1m/s²
B在作用區(qū)中運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)距離為：S_m=

v 2 B

2aB

=

22

2×2

m=1m
B從進(jìn)入作用區(qū)到穿出作用區(qū)用時(shí)有：Ft₁=2m_Bv_B 
代人數(shù)據(jù)解得：t₁=

2mBvB

F

=

2×0.5×2

1

s=2s
A運(yùn)動(dòng)勻減速運(yùn)動(dòng)的距離為：S₁=v_At₁-

1

2

aA

t

2 1

=（8×2-

1

2

×1×22）m=14m
A的速度為：v₁=v_A-a_At₁=（8-1×2）m/s=6m/s    
A勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₂=

SA-S1

v1

=

20-14

6

s=1s
A穿出作用區(qū)用時(shí)為：L=v₁t₃-

1

2

aA

t

2 3

代人數(shù)據(jù)得：5.5=6×t₃-

1

2

×1×

t

2 3

解得，t₃=1s （另一解t₃=11s，因A做勻減速運(yùn)動(dòng)，速度減小，若t₃=11s，A穿過相互作用區(qū)時(shí)，速度為：v₃=v₁-a_At₃=6-1×11=-5m/s，說明A回頭，不能穿過相互作用區(qū)，不合理，故舍去）
故A從開始運(yùn)動(dòng)到完全穿過作用區(qū)所用時(shí)間為：t=t₁+t₂+t₃=4s
（2）要使A、B的動(dòng)能之和最小，則A穿過作用區(qū)后與B速度相等
右動(dòng)量守恒得：m_Av_A-m_Bv_B=（m_A+m_B）v
A、B的動(dòng)能之和為：E_k=

1

2

(mA+mB)v2
解得：E_k=16.3J
答：（1）A從開始運(yùn)動(dòng)到完全穿過作用區(qū)所用時(shí)間為4s．
（2）A、B兩球的最小總動(dòng)能為16.3J．

點(diǎn)評(píng)：本題分析清楚A、B運(yùn)動(dòng)的過程是關(guān)鍵，運(yùn)用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合進(jìn)行判斷．